當芝諾悖論遇上量子力學

無窮原則要求我們假裝一切都可以被無窮盡地切分，我們也已經看到了這樣的概念非常有用。通過想象比薩可被切分成任意小的塊，我們準確地求出了圓的面積。那么，問題隨之而來：無窮小的東西在現實世界中是否存在呢？

對于這個問題，量子力學有一定的發言權。它是現代物理學的一個分支，描述的是大自然在其最小尺度上的行為方式。它是有史以來人類建立的最精確的物理學理論，并以怪誕性聞名。它的術語，以及包含輕子、夸克和中微子的粒子園，聽起來就像劉易斯·卡羅爾作品里的東西。量子力學描述的行為通常也很怪誕，在原子尺度上發生的事情，在宏觀世界中可能永遠也不會發生。

比如，我們可以從量子角度思考墻之謎。如果步行者是一個電子，那么它可能會穿墻而過。這種現象被稱為量子隧穿效應，它的的確確會發生。經典物理學很難解釋這種效應，而量子力學對它做出的解釋是，電子可以用概率波來描述。概率波遵循薛定諤方程，該方程是由奧地利物理學家埃爾溫·薛定諤在1925年建立的。薛定諤方程的解表明，一小部分電子概率波會出現在難以逾越的障礙的另一邊。這意味著在障礙的另一邊探測到這個電子的概率盡管很小，但不為0，就像它穿過了那堵墻一樣。在微積分的幫助下，我們可以計算出這種隧穿效應的發生率，實驗也已經證實了這種預測。隧穿效應是真實存在的，比如α粒子會以預測的發生率穿透鈾核，產生放射性效應。隧穿效應也在使太陽發光的核聚變過程中起到了重要作用，因此地球上的生命部分依賴于隧穿效應。此外，它還有許多技術用途，比如，科學家用來觀測和操縱單個原子的掃描隧穿顯微鏡，正是建立在隧穿效應的基礎之上。

我們對這類發生在原子尺度上的事件沒有直觀認識，因為我們是由幾萬億個原子組成的龐大生物。幸運的是，微積分可以代替直觀認識。通過應用微積分和量子力學，物理學家打開了微觀世界的理論之窗，他們的洞見產生的成果包括激光、晶體管、計算機芯片和平板電視中的發光二極管（LED）。

盡管量子力學的許多概念都很激進，但在薛定諤方程中，它保留了空間和時間具有連續性的傳統假設。麥克斯韋在他的電磁理論中做出了相同的假設，牛頓的引力理論和愛因斯坦的相對論亦如此。因此，從微積分到理論物理學，它們都建立在空間和時間具有連續性的假設基礎之上。到目前為止，這種假設一直非常成功。

但是，我們有理由認為，在宇宙的極小尺度（遠小于原子尺度）上，空間和時間最終可能會失去它們的連續性。盡管我們不確定那里會是什么樣子，但我們可以猜測一下。空間和時間可能會像芝諾的飛矢不動悖論設想的那樣完全像素化，不過由于量子不確定性，它們更有可能退化為無序的混沌狀態。在如此小的尺度上，空間和時間也可能會隨機地涌動和翻騰，像泡沫一樣起伏。

在這些極限尺度上應該如何設想空間和時間，盡管人們還未就此達成共識，但對于這些尺度可能會有多小，人們已經達成了一致意見。極限尺度是由自然界的三大基本常量決定的，我們無法左右。第一個是引力常量G，它衡量的是宇宙中的引力強度。它最早出現在牛頓的引力理論中，之后又出現在愛因斯坦的廣義相對論中，未來也必定會出現在取代這兩者的任何理論中。第二個常量?反映了量子效應的強度，它出現在海森伯的不確定性原理和薛定諤的量子力學波動方程中。第三個常量是光速c，它是宇宙的極限速度，任何一種信號的傳播速度都無法超過c。這個速度必然會出現在所有的時空理論中，因為它通過距離等于速度乘以時間的原理把空間與時間聯系在一起，c就是其中的速度。

1899年，量子理論之父、德國物理學家馬克斯·普朗克意識到，將這些基本常量組合起來得到長度尺度的方式有且僅有一種。普朗克推斷出這個獨一無二的長度就是宇宙的自然尺度，為了紀念他，我們現在稱此長度為普朗克長度。它的公式是：

我們把G、?和c的測量值代入這個公式，可以算出普朗克長度約為10^–35米，這是一個非常小的距離，相當于質子直徑的10²²分之一。普朗克時間是光經過這段距離所需的時間，大約是10^–43秒。這兩個尺度就是極限尺度，在它們之下空間和時間將不再有意義。

這些數字限定了我們切分空間或時間的精細程度。為了感受我們在這里討論的精密度有多高，可以想一想，如果進行一次你能想象到的最極端的比較，需要使用多少位數。用最大的可能距離（已知宇宙的估測直徑）除以最小的可能距離（普朗克長度），這個異常極端的距離之比雖然只是一個60位數，但它是我們需要用到的距離之比中最大的一個。使用更多位數（比如100位數，更不用說無窮位數了）則會過猶不及，因為它們超出了我們在物質世界中描述任何真實距離所需的上限。

然而，在微積分中，我們一直在使用無窮位數。早在中學時期，學生們就要開始思考像0.333…這樣的無窮小數。盡管我們把這類數字稱為實數，但它們一點兒也不真實。至少就我們今天通過物理學了解到的現實而言，依據小數點后的無窮位數來認定實數的要求恰恰意味著實數并不是真實的。

如果實數是不真實的，數學家為什么會如此喜愛它們呢？小學生又為什么必須學習它們呢？因為微積分需要實數。從一開始，微積分就固執地認為萬物——空間和時間、物質和能量，以及已經存在或將要出現的所有事物——都應該被視為連續的。因此，萬物都可以并且應該用實數來量化。在這個理想化的假想世界里，我們假裝一切事物都可以被無限地切分。整個微積分理論都建立在這個假設的基礎之上，如果沒有它，我們就無法計算極限；如果沒有極限，微積分將會停滯不前。如果我們使用的都是精密度只有60位的小數，那么數軸上將會布滿麻點和坑洼。而在這些坑洞處，原本應該放置著圓周率、2的平方根和小數點后有無窮位數的數字。即使像1/3這樣的簡單分數也會消失不見，因為它也需要用無窮位數（0.333…）來確定它在數軸上的位置。如果我們想把全體數字視為一條連續的線，這些數字就必須是實數。盡管它們可能只是現實的近似值，但卻行之有效。我們很難用其他方式為現實建模。和微積分的其他部分一樣，在無窮小數的助力下，無窮讓一切事物都變得更簡單了。