極限與墻之謎

極限就像一個達成不了的目標，你可以離它越來越近，但你永遠無法實現它。

比如，在比薩證明中，通過切分出足夠多的比薩塊并對它們進行重新排布，我們可以使有荷葉邊的新形狀越來越接近于矩形。但是，我們永遠不能把它們變成真正的矩形，而只能接近那種完美狀態。幸運的是，在微積分中，極限的不可到達性往往無關緊要。通過想象我們能到達極限，然后看看這種想象意味著什么，我們常常可以解決手頭的問題。事實上，微積分領域的許多最偉大的先驅正是運用這種方法，取得了偉大的發現。他們并不是依靠邏輯，而是依靠想象力獲得了巨大的成功。

極限是一個微妙的概念，它也是微積分的核心概念。它之所以難以解釋，是因為這個概念在日常生活中并不常見。最貼切的類比可能是墻之謎：如果你走過了你和墻之間距離的1/2，再走剩下距離的1/2，接著走剩下距離的1/2……，你最終能到達墻根嗎？（圖1–9）

圖1-9

答案顯然是否定的，因為墻之謎明確規定，你每次只能走你和墻之間距離的1/2，而不是全部。不管你走了10次、100萬次還是多少次，你和墻之間總會有間隙。但同樣明顯的是，你可以任意地接近這堵墻。也就是說，通過足夠多次的努力，你可以走到離墻1厘米、1毫米、1納米（10^–9米），或者其他更小但不為0的距離范圍內，但你永遠無法真正走到墻根處。在這里，墻扮演的就是極限的角色。人們花費了大約2 000年的時間，才給極限下了一個嚴格的定義。而在此之前，微積分領域的先驅只能依靠直覺。所以，即使你現在對極限的感覺還很模糊，也無須擔心。通過分析一些實例，我們可以更好地了解它們。從現代的角度看，極限之所以重要，原因就在于它們是整個微積分領域的基石。

如果墻的比喻顯得太過冷酷無情（誰會愿意去接近一堵墻呢？），不妨試試這個類比：任何接近極限的過程都像一位英雄在進行無止境的探索。它和西西弗斯面對的毫無希望的任務（他因觸犯眾神而受到懲罰，要把一塊巨石滾上山頂，再眼睜睜地看著它滾下去，如此反反復復、無休無止）不同，這并非徒勞無功之舉。當某個數學過程朝著某個極限逼近（比如，有荷葉邊的形狀趨近極限矩形）時，就好像故事的主人公正在為一個他明知道不可能實現但仍抱持著成功希望的目標而努力奮斗，這種希望是由他在竭力接近目標的過程中取得的穩步進展激發產生的。