比薩證明

在開始進(jìn)行詳細(xì)的討論之前，我先簡述一下論證過程。它的策略是，把圓想象成一個比薩，然后把比薩切分成無窮多塊，最后神奇地將比薩塊排布成一個矩形。這樣一來，我們就能算出圓的面積了，因為移動比薩塊顯然不會改變它們原來的面積，而且我們知道如何求矩形的面積：長乘以寬。其結(jié)果就是圓的面積公式。

為了便于論證，這個比薩必須是數(shù)學(xué)意義上的理想比薩，它完全平坦，為正圓形，而且餅皮無限薄。它的周長（用字母C表示）是餅皮外緣的長度，可以通過繞餅皮一周來測量。周長通常不是比薩愛好者關(guān)心的問題，但如果我們想知道，可以用卷尺測量出C的值（圖1–2）。

我們感興趣的另一個量是比薩的半徑r，它的定義是從比薩的中心到其外緣上的任意一點的距離。特別要說明的是，如果所有比薩塊都是等大的，而且是從中心切到外緣，那么r也是每個比薩塊的直邊長度（圖1–3）。

假設(shè)我們把比薩切成4等份。盡管我們可以用圖1–4所示的方法把它們重新組合起來，但看上去不太可能計算出它的面積。

這個新形狀看起來像球根，它的頂邊和底邊都呈奇怪的荷葉邊狀。它當(dāng)然不是一個矩形，所以我們很難猜出它的面積。我們似乎在倒退，但就像所有戲劇慣用的套路那樣，在獲勝之前英雄都免不了身陷困境。戲劇張力正在積累當(dāng)中。

不過，即使被困于此，我們也應(yīng)該注意到兩件事，因為它們在整個論證過程中都成立，而且最終會給出我們要找的那個矩形的尺寸。第一件需要注意的事是，比薩餅皮外緣的1/2變成了新形狀的彎曲頂邊，另外1/2則變成了底邊。所以，新形狀的頂邊和底邊的長度都等于比薩周長的1/2，即C/2（圖1–4）。我們將會看到，這個長度最終會變成矩形的長。第二件需要注意的事是，球根形狀的斜直邊正是原始比薩塊的直邊，所以它們的長度依然是r。這個長度最終會變成矩形的寬。

我們之所以還沒看到關(guān)于期望矩形的任何跡象，是因為我們切分的比薩塊不夠多。如果我們把比薩切成8等份，然后按照圖1–5所示的方式把它們重新組合起來，得到的圖形看上去就會更接近于矩形。

事實上，這個比薩開始有點兒像平行四邊形了。結(jié)果還不錯，至少它正在逼近一個由直線圍成的圖形。新形狀的頂邊和底邊也不像之前那樣彎彎曲曲了，我們切分的比薩塊的數(shù)量越多，它們就會變得越扁平。和之前一樣，頂邊和底邊的長度還是C/2，斜邊長度為r。

為了使整個圖形更加規(guī)整，我們可以把最左側(cè)的比薩塊縱向切成等大的兩部分，然后把其中一部分移到最右側(cè)（圖1–6）。

現(xiàn)在這個形狀看起來就很像矩形了。不可否認(rèn)的是，它仍然不夠完美，因為餅皮的曲率導(dǎo)致該形狀的頂邊和底邊呈荷葉邊狀，但至少我們在進(jìn)步。

既然切分出更多比薩塊似乎有所幫助，我們就繼續(xù)切吧。在我們把比薩分成16等份，并像之前一樣對最左側(cè)的那塊進(jìn)行處理后，就會得到圖1–7所示的結(jié)果。

我們切的份數(shù)越多，由比薩餅皮外緣產(chǎn)生的荷葉邊狀的頂邊和底邊就會變得越扁平。在這個過程中我們會得到一系列形狀，它們都魔法般地趨近某個矩形，我們稱該矩形為極限矩形（圖1–8）。

這一切的關(guān)鍵在于，我們可以很容易地算出這個極限矩形的面積，即讓它的長和寬相乘。那么，剩下的問題就是根據(jù)圓的尺寸找出矩形的長和寬了。由于比薩塊都是豎直排列的，所以矩形的寬就是比薩的半徑r。矩形的長等于比薩周長的1/2，這是因為在處理新形狀的每個中間階段，比薩餅皮外緣的1/2變成了矩形的頂邊，另外1/2則變成了底邊。因此，矩形的長等于比薩周長的1/2，即C/2。綜上所述，極限矩形的面積可以用它的長乘以寬得出，即A=r×C/2=rC/2。而且，由于移動比薩塊不會改變它們的面積，所以極限矩形的面積也一定是原始比薩的面積！

古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在《圓的度量》中首次證明了圓的面積為A=rC/2，他的論證過程與上文講述的方法類似，但更加嚴(yán)謹(jǐn)。

就這個論證過程而言，最具創(chuàng)新性的方面在于無窮發(fā)揮作用的方式。當(dāng)我們只把比薩分成4等份、8等份或16等份時，最好的情況不過是把比薩重新排布成一個有荷葉邊的不完美形狀。在經(jīng)歷了不太樂觀的開端之后，我們切分的比薩塊的數(shù)量越多，得到的新形狀就越接近于矩形。但只有在我們把比薩切分成無窮多塊的極限情況下，它才會變成一個真正的矩形。這就是微積分背后的偉大思想，在無窮遠(yuǎn)處，一切都變得更簡單了。