0.333…的故事

為了強化“在無窮遠處，一切都變得更簡單了”和“極限就像無法實現的目標”之類的偉大思想，我們來看看下面的算術實例。這是一個將分數（比如1/3）轉換為等值小數（在本例中，1/3=0.333…）的問題。我清楚地記得，我八年級的數學老師斯坦頓女士教過我們這類問題的計算方法。這件事之所以讓我記憶猶新，是因為她突然講到了無窮。

那一刻，我生平第一次聽到一個成年人提及無窮。我的父母當然用不到它，它似乎是一個只有孩子才知道的秘密。在操場上，它總是以嘲弄和抬杠的方式出現。

“你是個混蛋！”

“是啊，好吧，你是兩倍的混蛋！”

“你是無窮倍的混蛋！”

“你是無窮加一倍的混蛋！”

“那和無窮倍是一樣的，你這個笨蛋！”

這些有啟發意義的對話讓我確信，無窮的行為和普通數字不一樣。當你給它加上1的時候，它不會變大，即使給它加上無窮也是這樣。它的這種所向披靡的屬性極其適用于終結校園內的爭論，誰搶先使用它，誰就贏了。

但在斯坦頓女士提到無窮之前，沒有其他老師跟我們談論過這個問題。我們班的所有同學都已經知道有限小數了，因為它們常被用來表示金額，比如10.28美元的小數點后就有兩位數。相比之下，無窮小數的小數點后有無窮位數，盡管它們乍看上去很奇怪，但和分數結合起來討論就顯得很自然了。

我們知道分數1/3也可以寫成0.333…，最后的三個點表示無限重復的“3”。這對我來說很重要，因為當我試著用長除法計算1/3時，我發現自己陷入了一個無限循環：1不夠被3除，所以假設1是10，那么10除以3等于3余1；現在我回到了起點，又要拿1去除以3。我無法跳出這個循環，這就是在0.333…中“3”不斷重復的原因。

關于0.333…末尾的三個點，有兩種解釋。其中，樸素的解釋是，在小數點右邊確實肩并肩地排列著無窮多個“3”。當然，正因為有無窮多個“3”，所以我們不能把它們全部寫下來，而改用三個點表示它們都在那里，或者至少在我們的腦海中。我把這種解釋稱為實無窮解釋，在我們不愿意過多地思考無窮含義的情況下，它的優點是看上去簡單明了、符合常理。

復雜的解釋是，0.333…代表極限，就像在比薩證明中極限矩形是有荷葉邊形狀的極限，或者墻是倒霉步行者的極限一樣。只不過，這里的0.333…代表對分數1/3進行除法運算后得到的連續小數的極限。隨著除法運算的不斷進行，在1/3的小數展開式中會產生越來越多的“3”。通過努力計算，我們可以得到一個盡可能接近1/3的近似值。如果對1/3≈0.3的結果不滿意，那么我們可以再算一步得到1/3≈0.33，以此類推。我把這種解釋稱為潛無窮解釋，其中的“潛”意味著近似值的小數位數可以根據需要不斷增多。沒有什么能阻止我們進行100萬次、10億次或者更多次數的除法運算。這種解釋的優點是，我們永遠不必引入像無窮這樣令人摸不著頭腦的概念，而可以繼續利用有限的概念。

在處理像1/3=0.333…這樣的等式時，我們采取哪種觀點其實并不重要。它們同樣站得住腳，而且在我們想進行的任何計算中都能得出相同的數學結果。但在數學領域，還存在實無窮解釋可能會導致邏輯混亂的其他情況，這就是我在引言中提及無窮像怪物一樣恐怖時所要表達的意思。對于某個過程產生的不斷接近極限的結果，無窮有時候確實會讓我們形成不同的看法。但假裝這個過程已經結束，并且以某種方式到達了無窮境界，我們偶爾也會因此陷入麻煩。