第1章 無窮的故事

數學的誕生建立在日常事務的基礎之上：牧羊人需要記錄羊群的數量，農夫需要給收獲的糧食稱重，稅吏需要確定每個農民應向國王上繳多少牛或雞，等等。出于這樣的實際需求，數字被發明出來。一開始人們用手指和腳趾計數，后來他們用動物骨頭上的劃痕計數。隨著數字的表現形式從劃痕演變成符號，不管是稅收和貿易，還是會計工作和人口普查，都便利了許多。在有5 000多年歷史的美索不達米亞泥板文書上，一排排用楔形文字記錄的賬目為我們提供了關于數字演化歷程的證據。

除了數字，形狀也很重要。在古埃及，線和角的測量是最重要的事。每年夏季，在尼羅河的洪水泛濫過后，土地測量員必須重新劃定農田的邊界線。后來，人們基于這項活動給研究形狀的領域起了個名字：幾何學。

起初，幾何學研究的都是棱角分明的形狀。它對直線、平面和角的偏愛反映出它的實用主義起源，比如，斜坡多為三角形，紀念碑和墳墓多為棱錐體，桌面、圣壇和田地則多為矩形。建造者和木匠使用鉛垂線時要依靠直角。對水手、建筑師和神父來說，無論是勘測、航海、遵循歷法、預測日食或月食，還是建造廟宇和神殿，關于直線的幾何知識都必不可少。

盡管幾何學執著于平直性，但有一種曲線總是十分引人注目，它就是最完美的曲線——圓。在樹木的年輪、池塘的漣漪、太陽和月亮的形狀中，我們都能看到圓。圓在大自然中無處不在。當我們凝視圓的時候，圓實際上也在注視著我們，因為它們就在我們所愛之人的眼睛里，在他們的瞳孔和虹膜的圓形輪廓中。圓不僅涵蓋了實用物品和情感信物（比如車輪和婚戒），還很神秘。它們的永恒輪回讓人聯想到季節的循環、轉世、永生和無盡的愛，難怪從人類研究形狀開始，圓就一直備受關注。

在數學上，圓體現的是沒有變化的變化。一個點繞圓周運動，盡管它的方向一直在變，但它到圓心的距離始終不變。這是一種微小的變化，也是一種得到曲線的最微不足道的方式。當然，圓還具有對稱性。如果你讓一個圓繞它的圓心旋轉，那么它看上去沒有任何變化。這種旋轉對稱性可能就是圓無處不在的原因，每當大自然的某個方面不在意方向時，圓就一定會出現。想想雨滴落進水坑里會發生什么：微小的漣漪從落點向外擴展。因為漣漪朝各個方向擴散的速度都一樣，而且它們都從同一個點出發，所以它們必定是圓形的。這是對稱性的要求。

圓也可以產生其他曲線形狀。如圖1–1所示，假如我們把一個圓沿其直徑串在一根竹簽上，然后在三維空間中繞著那根竹簽旋轉這個圓，就會形成一個球體，即地球儀或者球的形狀。當一個圓沿著與其所在平面成直角的直線垂直移動并進入第三維度時，就會形成一個圓柱體，即罐頭或者帽盒的形狀。如果這個圓在垂直移動的過程中逐漸變小，就會形成一個圓錐體；如果它在垂直移動的過程中逐漸變大，就會形成一個截錐體，即燈罩的形狀。

圖1-1

盡管早期的幾何學家對圓、球體、圓柱體和圓錐體很感興趣，但他們發現，相比三角形、矩形、正方形、立方體及其他由直線和平面構成的直線形狀，曲線形狀分析起來要困難得多。他們想知道曲面的面積和曲面體的體積，但卻不知道該如何解決這些問題。簡言之，圓度難住了他們。