曲線、運動和變化

無窮原則圍繞著方法論主題構建了微積分的故事。但微積分既與方法論有關，也與謎題有關。最重要的是，有三個謎題促進了微積分的發展，它們分別是曲線之謎、運動之謎和變化之謎。

圍繞這些謎題的豐碩研究成果，證明了純粹好奇心的價值。關于曲線、運動和變化的謎題乍看上去可能并不重要，甚至還深奧到令人絕望；但因為它們涉及豐富多彩的概念性問題，再加上數學與宇宙的結構有著密不可分的聯系，所以這些謎題的解決方案對文明的進程和我們的日常生活產生了深遠的影響。我們將在接下來的章節中看到，無論是在手機上聽音樂，在超市激光掃描儀的幫助下輕松結賬走人，還是利用GPS設備找到回家的路，我們都是在收獲這些研究帶來的好處。

一切都始于曲線之謎。在這里，曲線的含義非常寬泛，指任何形式的曲線、曲面或曲面體，比如橡皮筋、結婚戒指、漂浮的氣泡、花瓶的輪廓或者一根意大利香腸。為了讓物體盡可能地簡單，早期的幾何學家通常只專注于探究它們的抽象、理想的曲線形狀，而忽略它們的厚度、粗糙度和織構。比如，數學中的球面被想象成一張無限薄且光滑的正圓形膜，而不是像椰子殼那樣有厚度、凹凸不平和毛茸茸的形狀。即使在這些理想化的假設條件下，曲線形狀也會帶來令人困惑的概念性難題，因為它們并非由平直的部件構成。三角形和正方形很容易理解，立方體也一樣，它們都是由直線、平面和幾個角連接在一起構成的。計算它們的周長、表面積或體積，也不是一件難事。不管是在古巴比倫、古埃及、古代中國和古印度，還是在古希臘和古代日本，全世界的幾何學家都知道如何解決這些問題。但是，圓形物體則很棘手。沒有人能算出一個球體的表面積或體積有多大，即使是求圓的周長和面積，在古代也是一個難題。人們既不知道該從何處著手，也找不到便于理解的平直部件。總之，所有彎曲的東西都難以捉摸。

微積分就是在這樣的背景下誕生的，它萌生于幾何學家對圓度的好奇心和挫敗感。圓、球體和其他曲線形狀是他們那個時代的“喜馬拉雅山脈”，這并不是說它們造成了什么重大的實際問題（至少一開始不是），而是說它們激發了人類的冒險精神。就像攀登珠穆朗瑪峰的探險家一樣，幾何學家之所以想解決曲線問題，是因為它們就在那里。

有些幾何學家堅持認為“曲線事實上是由平直部件構成的”，這種觀點帶來了突破性進展。盡管這不是事實，但我們可以假裝它是真的。那么，唯一的問題就在于，這些部件必須無窮小，而且數量無窮多。通過這個巧妙的構思，積分學誕生了，這是人們對無窮原則的最早應用。我們會用幾個章節的篇幅來介紹無窮原則的發展歷程，不過它的本質早在萌芽期就簡單直觀地展現出來了：如果我們讓顯微鏡的鏡頭不斷接近圓（或其他任何彎曲且光滑的物體），可觀測到的那部分曲線看上去就會變得平直。所以，通過加總所有平直的小部件來計算我們想要的曲線形狀的相關信息，至少在原則上是可行的。多個世紀以來，世界上最偉大的數學家都在努力探究這個難題的解決辦法。不過，通過共同的努力（有時還伴有激烈的競爭），他們終于在破解曲線之謎上取得了進展。我們將會在第2章中看到，今天與其相關的副產品包括：電腦動畫電影中用來繪制逼真的人物頭發、服裝和面部的數學工具，以及醫生在給真正的患者做面部手術之前，先給虛擬患者做手術時用到的計算工具。

當人們清楚地認識到曲線不只是幾何變換的結果時，對曲線之謎的探索達到了狂熱的程度。曲線是破解大自然奧秘的鑰匙，它們自然而然地出現在飛行球的拋物線軌跡中，也出現在火星圍繞太陽旋轉的橢圓軌道中。此外，在歐洲文藝復興后期顯微鏡和望遠鏡蓬勃發展之時，曲線還出現在可根據需要彎曲和聚焦光線的凸透鏡中。

于是，人們開始解決第二大謎題，也就是地球上和太陽系中的運動之謎。通過觀察和巧妙的實驗，科學家在最簡單的運動物體中發現了迷人的數值模式。他們測量了鐘擺的擺動，記錄了球滾下斜坡的加速下降過程，還繪制了行星在天空中的運行軌跡。這些模式之所以讓發現者欣喜若狂（這是真的，當約翰尼斯·開普勒發現了行星運動定律時，他自稱陷入了“神明附體的狂熱”狀態），是因為它們似乎表明一切都出自上帝之手。從更世俗的角度看，這些模式強化了大自然具有深厚的數學根基的主張，就像畢達哥拉斯學派一直堅稱的那樣。唯一的問題是，沒有人能解釋這些不可思議的新模式，或者至少無法用已有的數學知識來解釋它們，即使是當時最偉大的數學家也無法用算術和幾何來完成這項任務。

問題在于，運動是不穩定的。在滾下斜坡的過程中，球的運動速度一直在變；在圍繞太陽旋轉的過程中，行星的運動方向也一直在變。更糟糕的是，當靠近太陽時行星的運動速度更快，而當遠離太陽時它們的運動速度減慢。那時，人們并不知道該如何處理這種以不斷變化的方式不停改變的運動。早期的數學家已經得出了描述最簡單運動——勻速運動——的數學公式，即距離等于速度乘以時間。但是，當速度改變而且是持續不斷地改變時，一切都變得不確定了。事實證明，運動跟曲線一樣，也是一座概念上的珠穆朗瑪峰。

我們將在本書的中間章節里看到，微積分的下一次重大進步源于對運動之謎的探索。就像在破解曲線之謎時一樣，無窮原則再次挺身而出。這一次，我們的創造性假設是，速度不停變化的運動是由無窮多個無限短暫的勻速運動組成的。為了直觀地說明這句話的意思，想象一下你正坐在一輛由新手司機駕駛的汽車里，車速忽快忽慢。你緊張地盯著車速里程表，它的指針隨著汽車的每一次顛簸而上下移動。但在1毫秒（0.001秒）內，即便是駕車技術最差的人也無法讓車速里程表的指針大幅移動。那么，在比1毫秒短得多的時間間隔（無窮小的時間間隔）內，指針根本不會移動，因為沒人能那么快地踩油門。

這些想法共同構成了微積分的前半部分——微分學。它不僅是在研究不斷變化的運動時處理無窮小的時間和距離變化所需的理論，也是在解析幾何（主要研究由代數方程定義的曲線，在17世紀上半葉風靡一時）中處理無窮小的曲線平直部件所需的理論。的確，代數曾一度令人瘋狂。它的普及對包括幾何學在內的所有數學領域來說都是一大福祉，但它也創造出諸多難以駕馭的新曲線，有待人們去探索。17世紀中期，位于微積分舞臺中央的曲線之謎和運動之謎相互撞擊，在數學界引發了混亂和困惑。走出喧囂之后，微分學漸趨成熟，但仍有爭議。有些數學家因為草率地利用無窮而受到批評，有些數學家則嘲笑代數就是一堆符號的拼接。在這樣的爭吵聲中，微積分的發展時斷時續，非常緩慢。

之后，有一個孩子在圣誕節那天出生了。這個微積分的拯救者年幼時看起來完全不像一個英雄：他是一名早產兒，沒有父親，3歲時又被母親遺棄了。想法消沉的孤寂男孩就這樣長成了沉默寡言、猜疑心重的年輕人，不過，名叫艾薩克·牛頓的他日后會在世界上留下空前絕后的印記。

他先是解決了微積分的“圣杯”問題，發現了將曲線的各個部件重新組合起來的方法，而且是簡單、快速和系統性的方法。通過把代數的符號與無窮的力量結合起來，他找到了一種方法，可以把任何曲線都表示成無窮多條簡單曲線（用變量x的冪來描述，比如x²、x³、x⁴等）的和。僅用這些“食材”，通過加一點兒x、少許x²和滿滿一湯匙x³，他就可以“烹飪”出他想要的任何曲線。它好像一個主配方，使調味品、肉和菜合而為一。有了它，牛頓就能解決關于形狀或運動的任何問題了。

之后，他破解了宇宙密碼。牛頓發現，任何類型的運動都可以分解為每次移動一個無窮小步，而且每個時刻的變化都遵循用微積分語言表述的數學定律。他僅用幾個微分方程（他的運動和萬有引力定律），就能解釋包括炮彈的飛行軌跡和行星的運行軌道在內的所有現象。牛頓的驚人的“世界體系”統一了天和地，掀起了啟蒙運動，改變了西方文化，對歐洲的哲學家和詩人產生了巨大的影響。他甚至影響了托馬斯·杰斐遜和《獨立宣言》的起草。在我們的時代，當NASA（美國國家航空航天局）的非裔美國數學家凱瑟琳·約翰遜及其同事（小說和熱門電影《隱藏人物》中的女主人公）設計宇宙飛船的飛行軌道時，牛頓的思想為她們提供了必要的數學計算方法，從而鞏固了太空計劃的基礎。

在破解了曲線之謎和運動之謎后，微積分轉向了它的第三個由來已久的謎題——變化之謎。永恒不變的唯有改變，盡管這句話是老生常談，但它依然是真理。比如，今天是雨天，明天是晴天；今天股票市場上漲，明天股票市場下跌。受到牛頓范式的鼓勵，后來的微積分研究者提出了一些問題：是否存在類似于牛頓運動定律的變化規律？有沒有適用于人口增長、流行病傳播和動脈中血液流動的定律？微積分可用于描述電信號沿神經纖維傳導的方式，或者預測公路上的交通流量嗎？

在執行這項宏大計劃的過程中，微積分一直在與其他科技領域合作，為實現世界的現代化做出了貢獻。通過觀察和實驗，科學家得出了變化定律，然后利用微積分求解并做出預測。比如，1917年，阿爾伯特·愛因斯坦將微積分應用于一個簡單的原子躍遷模型，從而預測出一種被稱為受激發射的神奇效應。他對這種效應進行了理論闡述：在某些情況下，穿過物質的光能激發出更多波長相同和傳播方向相同的光，并通過一種連鎖反應產生大量的光，形成強烈的相干光束。幾十年后，這個預測被證明是正確的。第一臺可運行的激光器在20世紀60年代初建成，從那時起，光盤播放機、激光制導武器、超市的條形碼掃描儀和醫用激光器等設備都離不開激光。

變化定律在醫學領域并不像在物理學領域那樣為人熟知。然而，即便被應用于基本模型，微積分也能對挽救生命做出貢獻。比如，我們在第8章會看到一個由免疫學家和艾滋病研究者建立的微分方程模型，在針對HIV感染者的現代三聯療法的形成過程中起到了什么作用。這個模型提供的見解推翻了“病毒在人體內處于休眠狀態”的主流觀點；事實上，病毒每時每刻都在與人體免疫系統進行著激烈的戰斗。在微積分提供的這種新認識的幫助下，至少對那些有機會采取聯合療法的人來說，HIV感染已經從幾乎被判了死刑的疾病轉變為可控制的慢性疾病。

不可否認的是，我們身處一個不斷變化的世界之中，它的某些方面超出了無窮原則固有的近似性和出自主觀愿望的想法。比如，在亞原子領域，物理學家不能再把電子想象成像行星或炮彈那樣沿光滑路徑運動的經典粒子。根據量子力學，在微觀尺度上，電子的運動軌跡會發生抖動，變得模糊不清和難以確定，所以我們需要將電子的行為描述成概率波，它不再遵循牛頓運動定律。然而，在我們做了這樣的處理后，微積分又一次勝利歸來，它通過薛定諤方程描述了概率波的演化過程。

盡管這令人難以置信，但它卻是事實：即使在牛頓的物理學行不通的亞原子領域，他的微積分也依然有效。事實上，它的表現相當出色。我們將在后文中看到，微積分與量子力學共同預測出醫學成像的顯著效果，為MRI（磁共振成像）、CT（計算機斷層成像）掃描和更加神奇的PET（正電子發射斷層成像）奠定了基礎。

現在是時候去更深入地了解宇宙的語言了，當然，我們這趟旅程的起點是“無窮”站。