2.2　線性相關

給定向量組V = [v₁, v₂,…, v_q]，如果存在不全為零b₁、b₂、…、b_q使得下式成立：

則稱向量組V線性相關（linear dependence）；否則，V線性無關（linear independence）。如圖2.7（a）所示，線性無關v₁和v₂構造一個二維平面H，v₁和v₂常被稱作基底向量（basis vector）。

在二維平面H內，a用v₁和v₂表示，從而v₁、v₂和a線性相關。圖2.7（b）中，a不能用v₁和v₂表示，從而v₁、v₂和a線性無關。如果，a是a在H平面內投影，a中不能被v₁和v₂表達的部分，即a - a，垂直于H平面。

圖2.8（a）給出的平面內，x方向單位向量為i = [1, 0]^T，y方向單位向量為j = [0, 1]^T。圖2.8（b）給出空間中，x方向單位向量為i = [1, 0, 0]^T，y方向單位向量為j = [0, 1, 0]^T，z方向單位向量為k = [0, 0, 1]^T。i、j和k這三個向量為相互垂直基底向量，也叫作正交基（orthogonal basis）；因為i、j和k這三個向量正交且模為1，因此它們也叫作標準正交基。如圖2.8（c）和（d）所示，在平面內、三維空間中，數據可以通過這些空間基底向量表達。

下面舉個例子，RGB（red green blue）三原色模型中任意一個顏色看成是以下三個基底向量構成線性組合。v₁代表紅色，v₂代表綠色，v₃代表藍色。

v₁、v₂和v₃這三個基底向量，模均為1，而且相互垂直，如圖2.9（a）所示。

圖2.9（b）展示，v₁（[1, 0, 0] red）、v₂（[0, 1, 0] green）和v₃（[0, 0, 1] blue）這三個基底向量任意兩個組合構造向量w₁（[1, 1, 0] yellow）、w₂（[1, 0, 1] magenta）和w₃（[0, 1, 1] cyan）。w₁、w₂和w₃也可以是三維空間基底向量；印刷四分色模式（CMYK color model）就引入w₁、w₂和w₃這三個基底向量。此外，CMYK還有一個維度，灰度。

從RGB模式向CMYK模式轉換是一種基底轉換。圖2.10展示v₁、v₂和v₃這三個基底向量構造更多空間向量。

除向量以外，在v₁、v₂和v₃這三個正交向量構造空間中，數據點也是一種重要數據展現形式，圖2.11中數據點顏色對應即空間點位置。有這一節內容作為基礎，本章下兩節要從數據和向量投影兩個角度研究數據矩陣。以下代碼獲得圖2.9～圖2.11。

B4_Ch1_2.m

close all; clear all; clc

loc = [0,0,0];

figure(1)
x_i = [1,0,0]; y_j = [0,1,0]; z_k = [0,0,1];
plot_vector(loc,x_i); hold on
plot_vector(loc,y_j);
plot_vector(loc,z_k);
fig_dec

figure(2)
plot_vector(loc,x_i); hold on
plot_vector(loc,y_j);
plot_vector(loc,z_k);
plot_vector(loc,x_i+y_j); hold on
plot_vector(loc,x_i+z_k);
plot_vector(loc,y_j+z_k);

fig_dec

figure(3)
r     = 0.75;
[x,y,z] = Spherical_grid(r);

subplot(1,2,1)
x = x(:); y = y(:); z = z(:);
hold on
for i = 1:length(x)
    plot_vector(loc,[x(i),y(i),z(i)])
end
fig_dec

r     = 1;
[x,y,z] = Spherical_grid(r);

subplot(1,2,2)
x = x(:);
y = y(:);
z = z(:);
hold on
for i = 1:length(x)
    plot_vector(loc,[x(i),y(i),z(i)])
end
fig_dec

steps = [0:0.1:1];
[X,Y,Z] = meshgrid(steps,steps,steps);
figure(4)
scatter3(X(:),Y(:),Z(:),8,[X(:),Y(:),Z(:)],'filled'); hold on
fig_dec
view(115,20);

function [x_grid,y_grid,z_grid] = Spherical_grid(r)

theta = 0:pi/25:pi/2;
phi   = 0:pi/25:pi/2;
[theta,phi] = meshgrid(theta,phi);
x_grid = r.*sin(theta).*cos(phi);
y_grid = r.*sin(theta).*sin(phi);
z_grid = r.*cos(theta);

end
function plot_vector(loc,vec)
h = quiver3(loc(1),loc(2),loc(3),...
    vec(1),vec(2),vec(3),'color',vec);
h.AutoScale = 'off';
h.ShowArrowHead = 'off';
end

function fig_dec

daspect([1,1,1])
box off; view(135,20); axis tight; grid on
xticks([0:0.5:1]); yticks([0:0.5:1]); zticks([0:0.5:1])
xlabel('x, red'); ylabel('y, green'); zlabel('z, blue')
xlim([0,1]);ylim([0,1]);zlim([0,1]);
grid off
hAxis = gca;
hAxis.XRuler.FirstCrossoverValue  = 0; % X crossover with Y axis
hAxis.YRuler.FirstCrossoverValue  = 0; % Y crossover with X axis
hAxis.ZRuler.FirstCrossoverValue  = 0; % Z crossover with X axis
hAxis.ZRuler.SecondCrossoverValue = 0; % Z crossover with Y axis
hAxis.XRuler.SecondCrossoverValue = 0; % X crossover with Z axis
hAxis.YRuler.SecondCrossoverValue = 0; % Y crossover with Z axis

end