2.1　切向量和法向量

向量又稱作歐幾里得向量（Euclidean vector）、空間向量（spatial vector）或者幾何向量（geometric vector）。向量通常由大小（magnitude）和方向（direction）兩個元素構成。向量大小又叫作歐幾里得距離（Euclidean distance）、歐幾里得范數（Euclidean norm）或2范數（2-norm），MATLAB對應函數為norm()和vecnorm()。

和起點無關的向量叫作自由向量（free vector），如圖2.1（a）所示；和起點有關的向量被稱作固定向量（fixed vector），如圖2.1（b）所示；方向上沿著某一條特定直線的向量，稱之為滑動向量（sliding vector），如圖2.1（c）所示。

直線的法向量（normal vector）為垂直于該直線的非零向量，如圖2.2（a）所示。光滑曲線上某點的法向量垂直于曲線上該點處的切線，如圖2.2（b）所示。平面法向量（a normal line to a surface）垂直于平面內任意直線，如圖2.2（c）所示。光滑連續曲面內某點的法向量為曲面該點處切平面（tangent plane）的法向量，如圖2.2（d）所示。

本章用n來表達法向量，而單位法向量（unit nor mal vector）N通過下式獲得：

單位法向量N模為1。

直線上任意一點的切向量（tangent vector）是和直線相切的非零向量，如圖2.3（a）所示。直線某點處切向量和法向量垂直，即兩者內積為0。圖2.3（b）所示為光滑曲線的切線。三維空間平面上某點的切線有無數條，如圖2.3（c）所示。同樣，如圖2.3（d）所示，光滑曲面上某點的切線有無數條，且都在曲面該點的切平面內。本書一般用τ來表達切向量。單位切向量（unit tangent vector）T通過下式獲得：

單位切向量T模為1。

向量外積，也叫叉乘（cross product）或向量積（vector product）。向量內積（inner product）或標量積（scalar product）為標量，而向量叉乘結果為向量。a和b的向量積，記作a × b。a × b方向分別垂直于向量a和b，即a × b垂直于向量a和b構成的平面。向量a和b以及a × b構成右手法則，如圖2.4所示，同時在圖中可以看到a × b和b × a方向相反。

a × b的模通過下式獲得：

其中，θ為向量a和b的夾角。

如圖2.5（a）所示，空間直角坐標系中三個正交基底向量i（x軸正方向）、j（y軸正方向）和k（z軸正方向）之間滿足向量叉乘關系，如下：

圖2.5（b）展示了以上三個等式中i、j和k的前后順序關系。若調換它們的順序，會得到以下三個運算式：

向量與自身叉乘等于0向量，如下：

叉乘運算的常見性質如下：

若用基底向量i、j和k表達向量a和b：

整理向量a和b的叉乘，如下：

則結果為以下行列式值：

下面結合代碼計算兩個向量的叉乘：

a × b結果如下：

b × a結果如下：

MATLAB計算叉乘函數為cross()，圖2.6展示cross()計算叉乘a × b和b × a，并用quiver3() 繪制結果。此外，圖2.6用fill3()函數繪制a和b構造平面。

以下代碼獲得圖2.6。

B4_Ch1_1.m

clear all; close all; clc

O = [0, 0, 0];
A = [-2,1,1];
B = [1,-2,-1];
AO = A-O;
BO = B-O;
cross_prod1 = cross(AO,BO)
cross_prod2 = cross(BO,AO)

figure( 1)

points=[ A' B' O'];
h5 = fill3(points(1,:),points(2,:),points(3,:),'b');
h5.EdgeColor = [1 1 1];
h5.FaceAlpha = 0.4;  hold on

h1 = quiver3(O(1),O(2),O(3),AO(1),AO(2),AO(3));
h2 = quiver3(O(1),O(2),O(3),BO(1),BO(2),BO(3));
h1.AutoScale = 'off'; h2.AutoScale = 'off';
h1.LineWidth = 1; h2.LineWidth = 1;
h3 =
quiver3(O(1),O(2),O(3),cr oss_prod1(1),cross_prod1(2),cross_prod1(3)); hold on
h4 = quiver3(O(1),O(2),O(3),cross_prod2(1),cross_prod2(2),cross_prod2(3));
h3.AutoScale = 'off'; h4.AutoScale = 'off';
h3.LineWidth = 1; h4.LineWidth =  1;

daspect([1,1,1]); box on; grid off; view(-45,45)
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z')
hAxis = gca;
hAxis.XRuler.FirstCrossoverValue  = 0; % X crossover with Y axis
hAxis.YRuler.FirstCrossoverValue  = 0; % Y crossover with X axis
hAxis.ZRuler.FirstCrossoverValue  = 0; % Z crossover with X axis
hAxis.ZRuler.SecondCrossoverValue = 0; % Z crossover with Y axis
hAxis.XRuler.SecondCrossoverValue = 0; % X crossover with Z axis
hAxis.YRuler.SecondCrossoverValue = 0; % Y crossover with Z axis