2.3 常用的關(guān)系運(yùn)算

數(shù)據(jù)庫中的查詢操作是在實(shí)際應(yīng)用中最常用的基本操作，用戶可以從數(shù)據(jù)庫中獲得感興趣的數(shù)據(jù)。關(guān)系代數(shù)是一種抽象的查詢語言，以集合代數(shù)為基礎(chǔ)，以關(guān)系為運(yùn)算對象的高級運(yùn)算。關(guān)系運(yùn)算與傳統(tǒng)的運(yùn)算相同，也是一種運(yùn)算，包括運(yùn)算對象、運(yùn)算符和運(yùn)算結(jié)果三大要素。關(guān)系代數(shù)的運(yùn)算對象和運(yùn)算結(jié)果都是關(guān)系。下面對關(guān)系運(yùn)算的種類和運(yùn)算符進(jìn)行簡要描述。

2.3.1 關(guān)系運(yùn)算符和運(yùn)算種類

1．關(guān)系運(yùn)算符

關(guān)系運(yùn)算的運(yùn)算符主要包括4類：集合運(yùn)算符、專門的關(guān)系運(yùn)算符、算術(shù)比較運(yùn)算符和邏輯運(yùn)算符。下面只是簡單羅列上述4類運(yùn)算符，至于具體的使用方法將在后面章節(jié)中進(jìn)行介紹。

1）集合運(yùn)算符：∪（并運(yùn)算）、—(差運(yùn)算）、∩（交運(yùn)算）、×（笛卡兒積）。

2）專門的關(guān)系運(yùn)算符：σ（選擇）、π（投影）、?（連接）、÷（除）。

3）（算術(shù)）比較運(yùn)算符：＞（大于）、≥（大于等于）、＜（小于）、≤（小于等于）、=（等于）、≠（不等于）。

4）邏輯運(yùn)算符：﹁（非）、∧（與）、∨（并）。

2．關(guān)系運(yùn)算種類

關(guān)系運(yùn)算的種類可分為兩類，即傳統(tǒng)的關(guān)系運(yùn)算和專門的關(guān)系運(yùn)算。傳統(tǒng)的關(guān)系運(yùn)算將關(guān)系看作元組的集合，即關(guān)系運(yùn)算的方向是按照“水平”方向行的角度來進(jìn)行，而專門的關(guān)系運(yùn)算不僅涉及行，而且涉及列。

（1）傳統(tǒng)的集合運(yùn)算

主要使用傳統(tǒng)的集合運(yùn)算方法，將關(guān)系（表）作為行（元組）的集合，從關(guān)系（表）的行方向角度進(jìn)行運(yùn)算。有時需要兩個關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算，如找到兩個表中相同的部分，這種運(yùn)算類似于傳統(tǒng)集合運(yùn)算中的交運(yùn)算。

傳統(tǒng)的集合運(yùn)算可以實(shí)現(xiàn)的基本操作如下。

1）并運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的插入和添加。

2）差運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)記錄的刪除。

3）修改數(shù)據(jù)記錄的操作，由先刪除（差）后插入（并）兩個操作實(shí)現(xiàn)。

（2）專門的關(guān)系運(yùn)算

專門的關(guān)系運(yùn)算是針對關(guān)系數(shù)據(jù)庫環(huán)境專門設(shè)計(jì)的，不僅涉及關(guān)系的行（元組或記錄），也涉及關(guān)系的列（屬性）。比較運(yùn)算符和邏輯運(yùn)算符實(shí)現(xiàn)輔助專門的關(guān)系運(yùn)算符操作。有時需要關(guān)系（表）本身進(jìn)行運(yùn)算，如果需要顯示表中某列的值，就需要利用關(guān)系的專門運(yùn)算中的“投影”。

2.3.2 傳統(tǒng)的關(guān)系運(yùn)算

事實(shí)上，傳統(tǒng)的關(guān)系運(yùn)算屬于集合運(yùn)算，即對兩個關(guān)系的二目集合運(yùn)算。傳統(tǒng)的關(guān)系運(yùn)算主要包括4種：并、差、交和廣義笛卡兒積。

1．并運(yùn)算

設(shè)關(guān)系R和關(guān)系S具有相同的目n（即兩個關(guān)系具有n個屬性），且相應(yīng)的屬性取自同一個域，則關(guān)系R和關(guān)系S的并（Union）由屬于R或?qū)儆赟的元組組成。其結(jié)果關(guān)系的屬性數(shù)仍為n，記為R∪S。形式化定義為

R∪S={t|t∈R∨t∈S}

其中，t表示關(guān)系R或S中的元組，即關(guān)系R或S中的記錄行。

注意：

R∪S的結(jié)果集合是R中元組和S中元組合并在一起構(gòu)成的一個新關(guān)系，特別要指出的是，合并后的結(jié)果必須要去除重復(fù)元組。

2．差運(yùn)算

設(shè)關(guān)系R和關(guān)系S具有相同的目n（即兩個關(guān)系具有n個屬性），且相應(yīng)的屬性取自同一個域，則關(guān)系R和關(guān)系S的差（Difference）由屬于R但不屬于S的元組組成。其結(jié)果關(guān)系的屬性數(shù)仍為n，記為R-S。形式化定義為

R-S={t|t∈R∧t?S}

其中，t表示關(guān)系R或S中的元組，即關(guān)系R或S中的記錄行。

3．交運(yùn)算

設(shè)關(guān)系R和關(guān)系S具有相同的目n（即兩個關(guān)系具有n個屬性），且相應(yīng)的屬性取自同一個域，則關(guān)系R和關(guān)系S的交（Intersection）由屬于R且屬于S的元組組成。其結(jié)果關(guān)系的屬性數(shù)仍為n，記為R∩S。形式化定義為

R∩S={t|t∈R∧t∈S}

其中，t表示關(guān)系R或S中的元組，即關(guān)系R或S中的記錄行。

4．廣義笛卡兒積

設(shè)關(guān)系R和關(guān)系S的屬性數(shù)分別為r和s。關(guān)系R和S的廣義笛卡兒積（Extended Cartesian）R×S 是一個（r+s）目的元組集合（即新關(guān)系的屬性數(shù)為：r+s），每個元組前r個分量（屬性值）來自關(guān)系R的一個元組，后s個分量是關(guān)系S的一個元組。關(guān)系R和關(guān)系S的笛卡兒積記為R×S，其形式化定義為

R×S={t|t=＜t^r,t^s＞∧t^r∈R∧t^s∈S}

說明：t^r、t^s中的r、s為上標(biāo)，分別表示r個分量和s個分量。若關(guān)系R的元組數(shù)為k₁，關(guān)系S的元組數(shù)為k₂，則關(guān)系R和關(guān)系S的笛卡兒積的元組數(shù)為k₁×k₂。

關(guān)系R和關(guān)系S中有相同的屬性名“學(xué)號”，在計(jì)算結(jié)果中為了區(qū)分，需要在其屬性名前標(biāo)注相應(yīng)的關(guān)系名，如R.學(xué)號和S.學(xué)號。

注意：在實(shí)際的應(yīng)用，笛卡兒積本身沒有多少實(shí)際用處，只有兩表連接時加上限制條件，才會有實(shí)際意義。

2.3.3 專門的關(guān)系運(yùn)算

專門的關(guān)系運(yùn)算主要包括4種：選擇運(yùn)算、投影運(yùn)算、連接運(yùn)算和除運(yùn)算。其中選擇運(yùn)算可以選取符合條件的元組構(gòu)成新關(guān)系；投影運(yùn)算可選取元組中指定的屬性構(gòu)成新關(guān)系；連接運(yùn)算可選取符合條件的元組串聯(lián)成新關(guān)系；除運(yùn)算可選取象集符合條件的元組的多個屬性構(gòu)成新關(guān)系。

1．選擇（Selection）運(yùn)算

選擇運(yùn)算也稱限制（Restriction），是對二維表進(jìn)行水平分割，也可以理解為對記錄（元組）水平方向的選取。選擇是在表中選取符合給定條件的元組，記為σ_F(R)。其中，σ為選擇運(yùn)算符，F(xiàn)表示選擇條件，是一個邏輯表達(dá)式，F(xiàn)的取值為邏輯值“真”或“假”。

邏輯表達(dá)式F的基本形式為：XθY，其中θ表示比較運(yùn)算，它可以是＞、≥、＜、≤、=、≠。X和Y表示屬性名，或?yàn)槌Ａ浚驗(yàn)楹唵魏瘮?shù)；屬性名可以用它的序號來替代。在基本的選擇條件中可以進(jìn)一步進(jìn)行邏輯運(yùn)算，進(jìn)行求非（﹁）、與（∧）、或（∨）運(yùn)算。

選擇運(yùn)算是從行的角度進(jìn)行的運(yùn)算，也就是從關(guān)系R中選取使邏輯表達(dá)式F為真的元組，也可以理解為從數(shù)據(jù)表中選取符合某種條件的記錄生成新的關(guān)系集合。σ_F(R)表示從R中選取滿足公式F的元組（行或記錄）所構(gòu)成的新關(guān)系。其形式化定義如下。

σ_F(R)={t|t∈R∧F(t)=true}

2．投影（Projection）運(yùn)算

投影運(yùn)算是對關(guān)系（表）進(jìn)行垂直分割，即對記錄（元組）列方向的篩選。

投影（Projection）運(yùn)算是在一個關(guān)系中選取某些屬性或列，并重新排列屬性的順序，再刪掉重復(fù)元組后構(gòu)成的新關(guān)系，是對二維表進(jìn)行垂直分割，記為π_A(R)。其中，π為投影運(yùn)算符，A為關(guān)系R中的屬性列。

投影運(yùn)算的形式化定義如下。

π_A(R)={t[A]|t∈R}

3．連接（Join）運(yùn)算

連接又稱θ連接，是從兩個關(guān)系的笛卡兒積中選取屬性間滿足一定條件的元組。形式化定義如下。

其中，A和B分別為關(guān)系R和關(guān)系S上度數(shù)相同且可比的屬性組，θ為比較運(yùn)算符。連接運(yùn)算從R和S的笛卡兒積R×S中選取R關(guān)系在A屬性組上的值與S關(guān)系在B屬性組上值滿足比較關(guān)系θ的元組。

連接運(yùn)算中有兩種最常用的連接，一種是等值連接（Equijoin），另一種是自然連接（Natural Join）。

1）等值連接。θ為“=”的連接運(yùn)算稱為等值連接。等值連接從關(guān)系R和關(guān)系S與廣義笛卡兒積中選取A、B屬性相等的元組，即等值連接為

2）自然連接。是一種特殊的等值連接。它要求兩個關(guān)系中進(jìn)行比較的分量必須是相同的屬性組，并且在結(jié)果中把重復(fù)的屬性列去掉。如果關(guān)系R和S具有相同的屬性組B，則自然連接可記為

注意：一般的連接操作是從行的角度進(jìn)行運(yùn)算。但自然連接還需要取消重復(fù)列，所以是同時從行和列的角度進(jìn)行的運(yùn)算。

自然連接與等值連接的主要區(qū)別如下。

1）等值連接中相等的屬性可以是相同屬性，也可以是不同屬性，而自然連接中相等的屬性必須是相同的屬性。

2）自然連接的連接結(jié)果必須去除重復(fù)屬性，而等值連接的結(jié)果不需要去除重復(fù)屬性。

3）自然連接用于有公共屬性的情況。若兩個關(guān)系沒有公共屬性，則它們不能進(jìn)行自然連接，而等值連接無此要求。自然連接在多表數(shù)據(jù)調(diào)用時常用。

4．除運(yùn)算（Division）

給定關(guān)系R（X，Y）和S（Y，Z），其中X、Y、Z為屬性組。R中的Y與S中的Y可以有不同的屬性名，但必須出自相同的域集。

R與S的除運(yùn)算得到一個新的關(guān)系P（X），P是R中滿足下列條件的元組在X屬性列上的投影：元組在X上的分量值x的象集Y_x包含S在Y上投影的集合。記作

R÷S={t_r[X]t_r∈R∧π_Y(S)?Y_X|}

其中Y_X為x在R中的象集，x=t_r[X]。

除運(yùn)算一般會對行和列角度進(jìn)行操作。

除運(yùn)算的計(jì)算可按下列過程進(jìn)行。

1）將被關(guān)系的屬性分為象集和結(jié)果屬性兩部分，與除關(guān)系相同的屬性歸于象集，不相同的屬性歸于結(jié)果集。

2）在除關(guān)系中，在與被除關(guān)系相同的屬性（象集屬性）上投影，得到除目標(biāo)數(shù)據(jù)集。

3）將被除關(guān)系分組，將結(jié)果屬性值相同的元組分為一組。

4）觀察每個組，若它的象集屬性值中包括除目標(biāo)數(shù)據(jù)集，則對應(yīng)的結(jié)果屬性值應(yīng)該屬于除法運(yùn)算結(jié)果集，并去掉與原被除關(guān)系相同的分組。

具體計(jì)算過程如下。

1）關(guān)系R中屬性組A、B的取值為{（2，1），（2，2），（3，2）}

（2，1）的象集為{（a，c），（b，d）}。

（2，2）的象集為{（a，d）}。

（3，2）的象集為{（b，d），（b，c）}

2）關(guān)系S在屬性組C、D上的投影為{（a，c），（b，d）}

3）找出全部屬性組A、B象集包含關(guān)系S屬性組C、D上的投影的取值，即為新關(guān)系R÷S，此處通過比較（1）和（2），可以發(fā)現(xiàn)只有元組（2，1）的象集包含關(guān)系S在屬性組C、D上的投影，所以R÷S只有一個元組（2，1），即R÷S運(yùn)算結(jié)果如表2-22所示。

除的基本運(yùn)算可以表示為等價(jià)關(guān)表達(dá)式

π_A(R)-π_A(π_A(R)×S-R)

下面試舉幾個關(guān)系代數(shù)綜合運(yùn)算應(yīng)用的案例。

設(shè)商品銷售數(shù)據(jù)庫有3個關(guān)系：商品關(guān)系、售貨員關(guān)系和售貨關(guān)系。3個關(guān)系的關(guān)系模式如下。

商品（商品編號，商品名，產(chǎn)地，價(jià)格，等級）

售貨員（售貨號編號，姓名，性別，年齡）

售貨（商品編號，售貨員編號，數(shù)量）

討論思考：

1）交、并、差運(yùn)算的兩個關(guān)系必須滿足什么條件？

2）除運(yùn)算的結(jié)果表示什么含義？

3）等值連接和自然連接之間的區(qū)別是什么？