前 言

偉大的作曲家伊戈爾·斯特拉文斯基（Igor Stravinsky）曾經說過：“音樂這種形式和數學較為接近——也許不是和數學本身相關，但肯定與數學思維和關系式有關。”的確，許多作家對數學與音樂之間的密切關系都曾加以評論。他們指出，很多科學家都喜歡聆聽音樂，甚至親自演奏樂器；每論及此，阿爾伯特·愛因斯坦（Albert Einstein）和他那把標志性的小提琴就會浮現在我們的腦海中。除此之外，類似的例子不勝枚舉。

這一說法可能是正確的，但是在過去，這兩個領域之間的關系從未真正保持對稱。例如，數學和音樂都采用某種行之有效的符號系統——一組書面符號（盡管音樂領域還有許多口頭術語，更多地用于標識演奏時的情感），業內人士均能精確地領悟和把握。另外讓人感興趣的是，盡管數學領域由于新的分支不斷涌現，其所采用的符號系統時至今日仍在不斷發展，但這兩套系統大致在相同的時間，即公元1 000年左右，開始起步。

數學和音樂也共享不少術語。以“調和”（harmonic）一詞為例，它作為形容詞時，意思是“悅耳的”；如果作為名詞，指的則是所有樂器合奏時所形成的一系列高亢的泛音。如今，這個詞在數學和音樂領域都得到廣泛運用；兩卷本的《百科全書數學詞典》(Encyclopedic Dictionary of Mathematics)至少列出了20多個該詞匯的用法，包括“調和平均數”（harmonic mean）、“調和級數”（harmonic series）、“調和分析”（harmonic analysis），以及“調和函數”（harmonic function）。其他通用的術語還包括“轉位/逆”［inversion，音樂的音程（interval）的轉位/相對于圓的某個點的逆點］、“根音/根”（root，音樂和弦的根音/數字或者方程的根）、“進行/數列”（progression，音符的進行/數字的數列）、“音列/序列”［series，在音樂領域，阿諾德·勛伯格（Arnold Schoenberg，1874—1951）的十二音譜曲法用到了“音列”的概念；在數學中，求無限項的總和時則會用到“序列”的概念］。

過去的250年間，音樂一直是數學家的靈感源泉，他們在這眼泉水里總能找到非常特別的問題，讓自己的頭腦保持工作狀態。其中，最著名的可能就是“振動弦”（vibrating string）的問題。18世紀，這個問題成為某些最偉大的數學家之間相互對壘的議題，而與此相關的爭論持續了50多年，最終導致了后微積分時代的數學發展。對于兩個正數a和b，其算術平均值（arithmetic means）、幾何平均值（geometric means）和調和平均數（harmonic means）分別為A=、G=和H=，這三種公式極有可能源自八度的2:1、五度的3:2和四度的4:3這三個比例，它們均為畢達哥拉斯的“完全協和”（perfect consonances）音程——正如形容詞“悅耳的”所蘊含的意味。作為數論的一個分支，處理連分數的理論可能就源于探求音階（scale）中各種音程的最佳數值比的過程。

但是，數學是否對音樂也產生了同樣的影響呢？顯而易見，數學對音樂的技術層面有更多的發言權，例如對樂器的音調，或者如何設計音樂廳使其實現最完美的聲響效果等。然而，對作為藝術的音樂而言，除了一些特例，數學產生的影響相當有限；這兩個學科都各自遵循著自身的發展規律。這種認為兩者相互獨立的典型觀點，可以參考萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）關于音樂理論的諸多論述（參見第四章），盡管有人指出，“對音樂家來說，它包含的幾何知識過于龐雜，而在幾何學家看來，它囊括的音樂知識又太過繁復”。

//

我在一個熱愛歐洲文化——文學、藝術和音樂的家庭中長大。我的父母都沒有受過音樂訓練，但是，我的母親是一位藝術家，她非常熱愛莫扎特；每當她坐在桌旁，描繪那些美麗的花朵時，她總會把收音機調到古典音樂頻道。因此，莫扎特和他的音樂，以及母親告訴我的關于他的許多故事，都成為我童年生活的一部分。有一天，她帶我去看一部講述莫扎特生平的電影。那時，距離彼得·謝弗（Peter Shaffer）虛構的《阿馬德烏斯》(Amadeus)①成為頭條新聞，還有幾十年的時間。我記得，當看到莫扎特處于彌留之際，仍在病榻上向他的弟子蘇斯邁爾（Süssmayr）口授那部未完成的《安魂曲》(Requiem)時，我不禁為他人生中的這最后一幕潸然淚下。

但是，使我對科學和音樂保持終生熱愛的實際上是我的外祖父。1938年，由于納粹的嚴酷統治，猶太人的生活難以為繼，他和我的外祖母離開德國，前往以色列（接著又到了巴勒斯坦）。我有一張他的照片（參見寫有獻辭的那一頁），［1］當時我大約五歲，照片中他正為我演奏小提琴。在這張由我母親拍攝的照片背面，她寫上了那首外祖父為我演奏的歌曲的名字——《可愛的月亮，你走得如此安詳》(Guter Mond, du gehst so stille)，這是一首傳統的德國搖籃曲。［2］那成為我人生中的第一場現場演出，時至今日，往昔的情景依舊歷歷在目。直到有一天，外祖父告訴我說他必須和小提琴說再見了——他迫切地需要錢。頃刻，我淚流滿面。［3］

另外，我還有一本外祖父在中學（高中）學習時用過的物理書。這本書于1897年出版，附有數百幅精美的插圖；更重要的是，它報道了物理學的最新進展，包括X射線［當時被稱為“倫琴射線”（R?ntgen rays）］的發現及其對醫學的潛在益處。他肯定非常認真地研讀過這本書，因為幾乎每一頁都有他手寫的注釋。我們會一起坐上好幾個小時，他向我解釋各種各樣的東西，這是我接受的最早的科學啟蒙。我至今還保存著這本書，并視若珍寶（參見圖P.1）。

20世紀40年代，戰爭的陰云籠罩著世界，但我的父母仍偶爾在位于特拉維夫的家中播放古典音樂來款待客人。他們用一個機械轉盤，也就是留聲機，來播放黑膠唱片，錄音規格為78轉/分。我是多么喜歡這些時光啊！留聲機必須使用一個較大的曲柄，也就是通常所說的“曼努埃拉”（manuela），需要用手將它搖上一陣，才能讓留聲機轉上大約10分鐘，這點時間剛好夠播完唱片的兩個面。如果你沒有及時上足發條，轉盤就會慢下來，而音樂的節奏隨之減緩，音高降低。一首時長40分鐘的貝多芬的交響曲需要五六張此類唱片，它們一般被存放在一本看上去像老式相冊（album）的夾子里（現在常用來指代歌曲專輯的“album”一詞可能就來源于這種老式唱片冊）。每本唱片冊都像上千頁的微積分教科書那么重！切記，切記！千萬不要讓哪張唱片從夾子里滑出來，它會在地板上跌成碎片。但是，播放唱片時，唱針才是最需要關注的。每播放十幾個小時，就應該更換一下唱針，否則它會變鈍，并損傷唱片的音槽。唱針由鉻制成，而在戰爭期間，鉻的供應受到嚴格限制。不過好在很快，替代品——木制唱針就出現了！不消說（此處不含有任何雙關意義），木制唱針播放出來的聲音異常沙啞，但正是這種聲音帶給我古典音樂的啟蒙。

//

“每個聰明的音樂家都應該熟悉他的藝術背后所隱含的物理定律。”克拉倫斯·G. 漢密爾頓（Clarence G. Hamilton）在他那本于1912年出版的迷人小冊子《聲音及其與音樂的關系》(Sound and Its Relation to Music)中寫道。如果我們能暫時忽略他那些言論中略微夸大其詞的成分（注意，盡管他說出的那句話只針對男性音樂家，但也的確符合當時的社會規范），事實也的確如此，僅有很少的古典作曲家在他們的職業生涯中曾與數學或物理打過交道。在這為數不多的人中，有兩個名字脫穎而出：一位是讓—菲利普·拉莫（Jean-Philippe Rameau，1683—1764），他寫了一篇流傳頗廣的關于聲學的論文；另一位是朱塞佩·塔蒂尼（Giuseppe Tartini，1692—1770），此人發現了如今所謂的混合音（combination tones，參見第五章）。在我們的時代也出現了某些改變，幾位作曲家將他們的音樂建立在數學定律之上，都取得了不同程度的成功。他們中的佼佼者就是勛伯格，他的系列作品會在第九、十章中被詳細介紹。此外，我還要提到伊阿尼斯·澤納基斯（Iannis Xenakis，1922—2001）和卡爾海因茨·施托克豪森（Karlheinz Stockhausen 1928—2007）。前者在改行做音樂前，曾接受土木工程師和建筑師的專業訓練，他在自己的音樂作品中用到了隨機理論（stochastic principles）；整體看來，他的曲譜充斥著扭曲的圖形和線條，而不是那種傳統樂譜里的音符和五線譜。在最初的一段時間里，他們的作品受到了富有先鋒主義精神的聽眾的熱烈歡迎。但是，這些作品能否被古典音樂的主流接納，尚待觀察。

數學和音樂，這兩個領域擁有如此多的相似之處，但彼此之間又保持著一定的距離。本書所講的，正是關于這種相互關系的故事。這絕不是一本想對此做全面歷史回顧的書，也不是一本關于音樂的數學物理教程，這類教材已經有很多優秀的代表。相反，我想做的只是從歷史的角度來審視一下音樂和數學之間的親密關系，著眼于那些真實發生過的事情，以及故事背后的人物——那些科學家、發明家、作曲家，以及偶爾出現的怪人。盡管在某些事情上，一些讀者可能會提出反對意見，但是，我并不因此而羞于表達自己的觀點，例如通常與音樂聲調的設定相關的情感屬性。在我看來，它們有些被過度夸大了。本書適合那些對數學、音樂和科學感興趣的普通讀者，書中沒有任何超出高中代數和三角學的數學要求。但是，如果讀者具備音樂符號的基本知識的話，會比較有助于閱讀。

然而，最后需要指出，所有將數學與音樂聯系在一起的嘗試，實質上都是受到限制的，因為這兩個領域的目標相互矛盾：數學，以及更廣泛意義上的科學，其目標是激發我們的智慧和以客觀、邏輯的方式分析抽象模式及關系的能力；而音樂，則致力于觸摸我們的心靈，喚醒我們對聲音、節奏、時間和聽覺模式的情感反應。在這里，讓我們借用亞利桑那州鳳凰城樂器博物館（Musical Instrument Museum，簡稱MIM）的一句迎客辭：“音樂是靈魂的語言（Music is the language of the soul）。”

//

任何像這樣的有關跨學科主題的討論，都難免會涉及幾個相鄰的領域。不言而喻，物理定律無論是在音樂領域，還是在天文領域都發揮著作用——從畢達哥拉斯信奉行星的軌道是由音樂般和諧的定律控制，一直到19世紀晚期，人們發現行星及其衛星的運行軌道間存在共振現象，并且這種共振通常具有常用的音樂音程比例（參見第十二章）。我們或許還要提及人們最近在星系之間的廣袤空間中所檢測到的聲波，它們具有特定的波長和音高（參見附錄C），這也許反映了像古老寓言一樣的《宇宙音樂》(Music of the Spheres)的輪回。

無論如何，在數學和物理科學之間，甚至推廣到數學和人文科學之間，我們今天所劃出的森嚴界限并非前人的普遍做法。事實上，直至19世紀初期，經典科學領域的大部分偉大人物都認為自己既是數學家，又是哲學家、物理學家和自然科學家。他們在諸多學科中游刃有余，且一致認為這些學科有助于理解大自然的運行方式。在這份入選的學科名單中，自然也包括音樂。

//

關于參考書目的說明：為了避免重復，文本中提及并出現在參考書目中的書籍僅有作者的姓名和書名。我幾乎不需要特別說明，所有與音樂有關的術語，以及諸多作曲家的生平等內容，在巨細無遺的29卷本《新格羅夫音樂和音樂家詞典》(The New Grove Dictionary of Music and Musicians)［該書于2001年由麥克米倫公司（Macmillan）出版，可以通過www.oxfordmusiconline.com在線查閱］中都有詳細記錄。在蘇格蘭的圣·安德魯斯大學的數學與統計學院（School of Mathematical and Computational Sciences, University of St Andrews）的網站（www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Indexes/ HistoryTopics.html）上，可以找到許多數學家的優秀傳記。

在此，我非常感謝我的朋友和同事們，包括戴維·安德烈·阿納蒂（David Andrea Anati）、威爾伯·霍普（Wilbur Hoppe）、羅伯特·蘭格（Robert Langer）和邁克爾·斯特林（Michael Sterling），我們就數學和音樂方面的問題進行過許多討論，都讓我受益匪淺。我還要感謝匿名審稿人，正是他們閱讀了手稿，給我提出了有益的評論和建議。我要大大地擁抱一下維基·卡恩（Vickie Kearn），這位我充分信任的編輯在普林斯頓大學出版社工作了近20年，感謝她在本書編寫過程中的各個階段都給予了寶貴的建議和指導。我還要衷心感謝普林斯頓大學出版社的工作人員，他們在出版本書的各個環節中均不懈地努力。特別地，我要感謝黛比·特加登（Debbie Tegarden），她監督了本書的整個出版過程，并在選擇眾多插圖的過程中提供了巨大的幫助；感謝勞倫·布卡（Lauren Bucca）主動幫助獲取了許多使用這些插圖所需的權限；感謝克里斯·費蘭特（Chris Ferrante）提供原版的文字和護封的設計；還要感謝迪米特里·卡列特尼科夫（Dimitri Karetnikov）、梅根·卡納貝（Meghan Kanabay）、伊麗莎白·布拉澤耶夫斯基（Elizabeth Blazejewski）和雅基·普瓦里耶（Jacquie Poirier）的協同配合，完成了原版圖片、數字文檔和文字的排版工作。我還要感謝卡羅勒·施瓦格爾（Carole Schwager）對手稿進行復制編輯，以及喬迪·貝德（Jodi Beder）幫助抄寫第十章中勛伯格的音列音樂。為了讓文中的插圖具有最好的效果，我的孫子理查德·馬奧爾（Richard Maor）也提供了非常大的幫助，對此我非常感謝。最后，同樣非常重要的是，我要對我親愛的妻子達利亞（Dalia）致以最熱誠的謝意。在本書的成書過程中，她一直鼓勵著我，并在本書付梓之前進行了細致的校對。如果沒有她，這本書將永遠不會見到光明。謝謝大家！

注釋

［1］感謝我的妹妹舒拉米特·內桑森（Shulamit Nathansohn），我們從父母那里繼承了數百張照片，是她從中找到了這張照片。

［2］感謝互聯網使我得以再次發現那首歌，其時距離外祖父為我演奏已經過去了整整75年。你可以在https://www.youtube.com/watch?v= 7C_yFytWKlU聽到朱利·安尼爾演唱的版本。

［3］我還保存著外祖父的音叉（tuniy fork，參見第七章），那是他用來給小提琴調音的。在一根叉上刻有字母“A”；雖然生銹了，它仍然會產生音符A（La），頻率為準確無誤的440赫茲（Hz，即每秒的旋轉次數）。

①又譯《莫扎特之死》《上帝的寵兒》等，是“二戰”后英國當代著名劇作家彼得·謝弗的代表作之一。不僅話劇版在英國國家劇院和美國百老匯票房大賣，電影版還獲得第57屆奧斯卡最佳改編劇本等八項大獎。——譯者注