2.4 機械環節的折算關系

如果電動機軸與工作機械直接相連，在分析運動狀態時可以直接使用運動方程（2-11）。典型的直接連接的機械是風機和水泵，因為它們是旋轉運動，而且轉速高，易于和電動機的額定轉速相匹配。然而，在很多場合，工作機械不是與電動機軸直接相連，而是通過減速齒輪、轉鼓-鋼繩或傳動皮帶等機械傳動機構與電動機軸相連。這時就不能直接利用運動方程（2-11），這是因為T和T_L作用在不同轉速的軸上，而且決定轉動慣量的質量也分別位于不同轉速的軸上。

只有把不同轉速軸上的轉矩和轉動慣量都折算到一個軸上（通常選用電動機軸），才能夠使用運動方程（2-11）。這種折算只是為了簡化計算，并不影響實際系統的性能。

轉矩折算的原則是保持功率平衡的原理，轉動慣量的折算原則是遵循動能守恒原理。

把齒輪減速機的減速比i（或稱傳動比）定義為減速機輸入轉速與輸出轉速之比（見圖2-9），則

圖2-9 把負載轉矩和轉動慣量折算到電動機軸上

式中 ω_WO——工作機械軸的角速度；

ω——電動機軸的角速度。

如果工作機械WO通過減速比為i的齒輪減速機與電動機軸相連，實際作用在工作機械軸上的負載轉矩是T_L.WO。為了把T_L.WO折算到電動機軸上，根據功率平衡的條件，有

T_L.WO·ω_WO=T_L·ω

式中 T_L.WO——作用在工作機械軸上的負載轉矩；

T_L——折算到電動機軸上的負載轉矩。

如果考慮到齒輪減速機的損失，在式（2-13）中還要引入減速機的效率η_redu，即

T_L.WO·ω_WO=T_L·ω·η_redu （2-14）

把工作機械軸上的負載轉矩折算到電動機軸上的公式為

如果把工作機械軸上的負載轉矩折算到電動機軸上，要把實際的負載轉矩除以減速比和減速機的效率。這就是轉矩折算的一般原則。通常減速比i大于1，所以負載轉矩折算到電動機軸上的值，要小于原來的實際值。

把工作機械的轉動慣量J_WO折算到電動機軸上要遵循動能守恒的原理，即

把工作機械的轉動慣量折算到電動機軸上的公式為

把工作機械的轉動慣量折算到電動機軸上，要把工作機械的實際轉動慣量除以減速比的二次方。這是轉動慣量折算的一般原則。這說明工作機械的轉動慣量對電動機影響很大。

把工作機械的轉矩和轉動慣量都折算到電動機軸上后（見圖2-9b），運動方程可以寫成

式中 J∑——電動機轉子的轉動慣量同工作機械折算后的轉動慣量之和，

J∑=J_rot+J_WO.mt。

某些機械的運動機構是把轉動轉變為平動，卷揚提升機就是典型的例子（見圖2-10）。這時作用在轉鼓上的負載轉矩屬于主動型轉矩，是由重力G產生的，并有G=m_zg，轉鼓軸上受到的轉矩為T_L（bar）=m_zgR_bar。根據式（2-15），折算到電動機軸上的負載轉矩為

圖2-10 卷揚機的運動機構

這種帶有位勢負載的卷揚機有其特殊性——提升重物和下放重物時的負載轉矩是不同的。在提升重物時，負載轉矩包括重物產生的轉矩之外，還包括機械傳動機構的摩擦力所產生的轉矩。這兩個轉矩的方向相同，致使總的負載轉矩有所增加。這時轉矩折算公式應當使用式（2-17），效率η_redu在分母中。在下放重物時，摩擦力產生的轉矩與重力產生的轉矩方向相反，總的負載轉矩有所減小。這時轉矩折算公式應當使用式（2-18），效率η_redu在分子中。需要注意的是，這種特殊性只出現在具有主動型負載轉矩的情況。

下面需要把做平移運動的重物的質量m_z也折算成為轉動慣量，這種折算也是遵循動能守恒定律。

式中 J_z——把重物的質量m_z折算到電動機軸上的轉動慣量。

重物的平動速度為V，電動機軸的角速度為ω。因為V=ω_barR_bar，所以

電動機軸上總的轉動慣量是

式中的J_rot、J_gear1、J_gear2和J_bar分別是電動機轉子、齒輪1、齒輪2和轉鼓的轉動慣量。

卷揚機在提升重物時的運動方程為（在下放重物時，效率η_redu在分子）

電氣傳動的運動系統由電動機的轉子、機械傳動機構、工作機械的運動機構等部分組成。如果各個運動部分（平動或轉動）的速度都相等或者呈比例關系，這樣的運動系統被稱為剛性運動系統。與之相對的是彈性（或稱柔性）運動系統。

正如前面所敘述的，在剛性運動系統中，可以把各個運動部分的轉動慣量折算到電動機軸上，也可以利用運動方程（2-11）分析運動系統的動態過程。有些場合也把這種質量（或慣量）能夠直接合并的運動系統叫做單一質量運動系統。

但是更多的情況是運動系統包括彈性因素或彈性器件：軸的扭轉形變和伸長形變、彈性的聯軸節、齒輪的間隙等。在這種情況下，不能把運動系統看作單一質量的剛性系統，而看做是多質量的彈性系統。許多高精密的電氣傳動運動系統要求高品質的動態特性，就必須把這種運動系統視為彈性系統來分析。由于描述這種系統的數學表達式過于復雜，通常最有效的分析手段是利用計算機進行仿真。

用一個例題幫助讀者加深理解本節的內容。

例題2.1一臺卷揚機的運動機構如圖2-10所示，重物的質量為1000kg，最大提升速度為1.0m/s，加速度（減速度）為0.25m/s²。轉鼓的轉動慣量是80kg·m²，電動機轉子的轉動慣量是1.5kg·m²，減速機的主動齒輪和被動齒輪的轉動慣量分別是0.1kg·m²和5kg·m²。電動機的額定（最大）轉速是600r/min。系統效率為0.9。轉鼓半徑0.25m。提升高度24m。請作出提升重物時電動機軸上轉速-時間的曲線和轉矩-時間的曲線。

解：1.加速時間和減速時間

2.在t₁和t₃時間段重物走過的距離

3.以最高速度運行的時間

4.電動機最高轉速時的角速度

5.轉鼓的最高轉速

6.齒輪減速機的減速比

7.轉鼓軸上的負載轉矩

T_L（bar）=m_zg_Rbar=1000×9.81×0.25=2452.5N·m

8.折算到電動機軸上的負載轉矩

9.折算到電動機軸上的總的轉動慣量

10.在加速時間段電動機發出的轉矩

11.在最高速時間段電動機發出的轉矩

T=T_L=173.6N·m

12.在減速時間段電動機發出的轉矩

由計算結果繪出轉矩和角速度的時間曲線如圖2-11所示。

圖2-11電動機軸上的速度和轉矩曲線