1.4　小心會搗亂的分數

把一個單位平均分成n份，每一份就是。相信這是大家從教材上接觸的最早的分數，也可稱為單分數。然后我們逐漸知道分子不一定總是1，分數之間的加、減、乘、除運算以及分數本身能構成許多令人深思的例子。

其實，分數概念起源于連續量的分割。在中世紀的俄國和英國，分數被稱為“破碎數”，而中文中的分數，是“分開的數”的意思。人們最初認識分數，并不像現在一樣連續，而僅僅是幾個孤立的數，例如、、等。在古代，人們又把稱為“半”，、分別被稱為“少半”和“大半”等。

在世界數學史上，古埃及人給出了最古老而又較完整的分數的表示方法。單分數在整數n的上面畫一個“”，以表示，其他分數用單分數的和來表示。這比起僅認識孤立的分數來說已經進步了很多。但是這種表示方法太復雜也不便于運算。

大約在戰國末期，中國的數學家開始將分數的概念建立在兩數之比的基礎上。這是分數發展史上的一個重要發現。由于把分數看成兩數之比，那么一個比式，也就是一個除式便可以看成一個分數表示式。按照古代籌算表示法，將被除數置于除數上面，它與現在分數表示法不同的是少一條分數線。帶分數與現在分數表示法的區別是整數部分在分數部分的上面，而不是在左面。在約定俗成的情況下，這些都只是表示法的問題，對于運算的準確性和簡捷性沒有任何阻礙。由于分數的概念建立在兩數之比的基礎上，那么分數的一切運算都可以從這個運算出發而得到合理的解決，這也就得到了現代分數計算法則的一套具有中國特色的分數理論，這些都已經被《九章算術》敘述在內。而國外直到1202年，才由意大利科學家斐波那契在《算盤書》一書中對分數進行了較系統的介紹。這也是歐洲最早的一部關于分數理論的書，它比《九章算術》要遲1000多年。

后來，中國古代的分數理論開始在印度流傳。印度人除了將籌算法則改成筆算法則外，其余都和中國的分數理論一模一樣。分數線是12世紀后期，在阿爾·哈薩的著作中首次出現的。以后隨著各國科學的發展，終于形成了現在所使用的分數理論。

分數的產生和發展大致就是這樣的。由于分數的概念是建立在兩數相除的基礎上，所以人們引生出了很多趣味分數問題，不信看看下面這個故事。

有一個老人，養了17只羊。他有3個兒子，在臨終時，他囑咐3個兒子說：“我死后，17只羊，分給老大，老二，老三。”然后他就咽氣了。三個兒子安葬完老人后，便開始分羊了。可是分羊時卻遇到了困難，因為17這個數，無論以2、3或9去除都不能除盡，怎么辦呢？正在大家冥思苦想的時候，老人生前的一個朋友牽著一只羊過來了。他看到老人的三個兒子愁眉不展，便問他們緣由。了解了情況后這個人想了一想，哈哈大笑，他胸有成竹地說：“把我的羊借給你們，連它一起分吧。”三個兒子覺得白拿別人的東西不好，可是在沒辦法的情況下，只好恭敬不如從命了。于是，老大牽走9只羊，老二牽走6只羊，老三牽走2只羊，還剩下一只羊。老人的好友牽著自己的羊哼著小曲兒又去做自己的事情了。三個兒子一想，似乎不用那只羊也能分，可是為什么自己事先不知道該怎么分呢？

其實，這中間就是分數搗了一點鬼。大家看下面的計算：

++=++=

也就是說，三個兒子分的羊達不到被分羊的總數，而事實上他們應該將17只羊全部分了，所以不應該按照17×、17×、17×的方法去計算，而應該按照∶∶先求出這三個人分配的比例，即9∶6∶2，然后按老大、老二、老三的比例分，這樣問題就圓滿解決了。

同學們都明白其中的道理了嗎？以后如果再碰到類似的問題，可不要和老人的三個兒子一樣，大眼瞪小眼也得不到結果。要好好了解分數的含義，再去解決問題。

與分數有關的趣味問題還有很多，感興趣的同學可以找一些同類題目來鍛煉自己。