1.7　神出鬼沒的質數

一個大于1的整數，如果除了它本身和1以外，不能被其他正整數所整除，這個整數就叫作質數。質數也叫素數，如2、3、5、7、11等都是質數。

如何從正整數中把質數挑出來呢？自然數中有多少質數？對于這些問題人們還不清楚，因為它的規律很難尋找。它像一個頑皮的孩子一樣東躲西藏，和數學家捉迷藏。

古希臘數學家、亞歷山大圖書館館長埃拉托塞尼提出了一種尋找質數的方法：先寫出從1到任意一個你所希望達到的數為止的全部自然數，然后把從4開始的所有偶數畫掉，再把能被3整除的數（3除外）畫掉，接著把能被5整除的數（5除外）畫掉……這樣一直畫下去，最后剩下的數，除1以外全部都是質數。例如找1～30之間的質數時可以這樣做。

1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30

后人把這種尋找質數的方法叫埃拉托塞尼篩法。它可以像從沙子里篩石頭那樣，把質數篩選出來。質數表就是根據這個篩選原則編制出來的。

數學家并不滿足用篩法去尋找質數，因為用篩法求質數帶有一定的盲目性，你不能預先知道要“篩”出什么質數來。數學家渴望找到的是質數的規律，以便更好地掌握質數。

從質數表中我們可以看到質數分布的大致情況：

l到1000之間有168個質數；

1000到2000之間有135個質數；

2000到3000之間有127個質數；

3000到4000之間有120個質數；

4000到5000之間有119個質數。

隨著自然數變大，質數的分布越來越稀疏。

質數把自己打扮一番，混在自然數里，使人很難從外表看出它有什么特征。比如101、401、601、701都是質數，但是301和901卻不是質數。又比如，11是質數，但111、11111以及由11個l、13個l、17個1排列成的數都不是質數，而由19個l、23個l、317個1排列成的數卻都是質數。

有人做過這樣的驗算：

1²+1+41=43

2²+2+41=47

3²+3+41=53

……

39²+39+41=1601

43～1601連續39個這樣得到的數都是質數，但是再往下算就不再是質數了。

40²+40+41=1681=41×41，1681是一個合數。

在尋找質數方面做出重大貢獻的還有17世紀的法國數學家梅森。梅森于1644年發表了《物理數學隨感》，其中提出了著名的“梅森數”。梅森數的形式為2^p-1，梅森整理出11個p值，使得2^p-1成為質數。這11個p值是2、3、5、7、13、17、19、31、67、127和257。仔細觀察這11個數，人們不難發現，它們都是質數。不久，人們證明了如果梅森數是質數，那么p一定是質數。但是要注意，這個結論的逆命題并不正確，即p是質數，2^p-1不一定是質數。

梅森雖然提出了11個p值可以使梅森數成為質數，但是，他對11個p值并沒有全部進行驗算，其中的一個主要原因是數字太大，難以分解。當p=2、3、5、7、13、17、19時，相應的梅森數為3、7、31、127、8191、131071、524287。由于這些數比較小，人們已經驗算出它們都是質數。

1772年，已經65歲的雙目失明的數學家歐拉，用高超的心算本領證明了p=3l的梅森數是質數。

還剩下p=67、127、257三個相應的梅森數，它們究竟是不是質數，長時期無人去論證。梅森去世250年后，1903年在紐約舉行的數學學術會議上，數學家科勒教授做了一次十分精彩的學術報告。他登上講臺卻一言不發，拿起粉筆在黑板上迅速寫出：

2⁶⁷-1=147 573 952 589 676 412 927=193 707 721×761 838 257 287

然后他就走回自己的座位。開始時會場里鴉雀無聲，沒過多久全場響起了經久不息的掌聲。參加會議的人們紛紛向科勒教授祝賀，祝賀他證明了第九個梅森數不是質數，而是合數！

1914年，第十個梅森數被證明是質數。

1952年，借助電子計算機，人們證明了第十一個梅森數不是質數。

以后，數學家利用運算速度不斷提高的電子計算機來尋找更大的梅森質數。1996年9月4日，美國威斯康星州克雷研究所的科學家，利用大型電子計算機找到了第三十三個梅森質數，這也是人類迄今為止所認識的最大的質數，它有378 632位。

數學家盡管可以找到很大的質數，但是質數分布的確切規律仍然是一個謎。古老的質數，它還在和數學家捉迷藏呢！