第五章

5.1　古代人是如何知道π的數值的

今天，π對我們來說是一件理所當然的事情，當我們知道了一個花瓶的直徑，我們能夠很快計算出花瓶底部的周長。在古代，人們都是憑借經驗來測算圓的周長，古埃及人認為圓周長是直徑長的3.16倍，而古羅馬人認為是3.12倍，其實π的值為3.14159……

你也許會感到很好奇，為什么他們計算出來的誤差這么大，難道不是一件很簡單的小實驗嗎？難道他們不會用一根線繞在任意一個圓形的物體上然后測量出繩子的長度，除以直徑不就得到精確的數值了嗎？

實際情況并沒有那么簡單，我們還是用花瓶來做實驗。我們假設這個花瓶的直徑為100毫米，那么按照我們現在對π的了解，這個花瓶瓶底的周長應該為314毫米。但是在實際操作中，你得不到314毫米這個數值，會有1毫米的出入，這是很正常的事情，如果按照我們實際測量的數值來規定π，那么π就可能是3.13或3.15了。還有一點，我們是規定了花瓶的直徑為100毫米，在實際操作中，我們也不太可能準確測量出花瓶的直徑，誤差也在1毫米左右，這樣計算出來的π值的范圍將在之間，用數字表示就是在3.09和3.18之間。

我們用這種實驗方法，偶爾也能得到3.14，但是建立在這個背景之下的數值3.14并不會特別引人注目，這只是一個在3.09和3.18之間的偶然的數字。

我們有了這樣的經驗，就知道了為什么阿基米德不采用實際測量的方法，而是使用推理的方法來得到π的數值35.2π的精確度在古代阿拉伯數學家穆罕默德·本·木茲所著的《代數學》中有段話代表了人們對圓周計算方法的描述：

最好的方法是把圓的直徑乘以3，這是最便捷的方法，只有真主才能有比這更快的方法。

現在我們都知道，阿基米德推算出的這個3并不是完全精確的，而且經歷了歷史的長河，我們也知道了圓周和直徑的比值是不可能用任何一個簡單而精準的數值表達出來的，這個數值永遠都只能是個近似值。

雖然在日常生活中，這個近似值已經足夠了，但是數學家們對于這個數值的精確度卻有孜孜不倦的追求。

16世紀時，有位荷蘭數學家魯多爾夫將π的數值精確到了小數點后35位，并將這個數值刻在了自己的墓碑上：

3.141　，592，653，589，793，238，462，643，383，279，502，88……

19世紀時，德國數學家圣克斯又計算出了的小數點后707位！其實無論是理論上，還是實際運用中，這樣精確的都是沒有什么意義的。但是數學家們為了樂趣，甚至是為了追求“破紀錄”的快樂，仍然孜孜不倦地追求的精確度。

在1946年到1947年之間，來自曼切斯特大學的菲爾古松和來自華盛頓的倫其將π后面小數點的位數擴展到了808位，并且發現了之前圣克斯計算的數據中，從528位開始都是錯誤的，這令他們感到欣喜不已。

數學家格拉維曾經舉過一個例子，根據這個例子我們可以清楚看出，將π計算到100之后是沒有任何意義的。如果說我們知道地球的精確直徑，想要精確地計算出地球赤道的圓周長，精確到1厘米，我們也只需要小數點后9位數字的π就足夠了。假設我們使用了小數點后18位的π值，計算出來的差距也不超過0.0001毫米，甚至遠遠比不上一根頭發絲那么粗。

對于日常生活中的一般計算，小數點后兩位數（3.14）就足夠了；對于更加精確的計算，也只需要小數點后四位數（3.1416）即可，最后的6是根據5四舍五入的結果。