4.5　正確嗎？

馬因·里德小說中的聰明少年所采用的方法是一種粗略的計算方法，只要有幾何學基礎(chǔ)的讀者都能發(fā)現(xiàn)這一點。請看圖42，其中，r表示小底面的半徑，R表示大底面半徑，h表示木桶的高度，也就是每個圓臺高度的兩倍。那么少年所得到的容積可以用下式表示：

但是如果按照幾何學的原理，我們所求的容積應該等于

這兩個式子計算出來的結(jié)果肯定是不一樣的，而且容易發(fā)現(xiàn)，第二個式子計算出的結(jié)果要比第一個式子計算出的要大：

這個差值肯定是個正數(shù)，這說明少年計算出來的數(shù)值比實際情形要小些。究竟要少多少呢？一般來說，木桶最粗的部分比底面直徑多出左右，也就是，而小說中的木桶也是這樣的形狀，由此我們能夠計算出，少年算出的容積與真正的容積之間的差距：

如果假設(shè)=3，計算出來大約等于。這樣看來，少年用自己的計算方法得到數(shù)值的誤差有一個木桶最大截面的半徑為底面半徑、以木桶高的為高的一個圓柱體的容積那么多。

真實的情況比這個誤差還要大一些，因為木桶的容積要比兩個疊加在一起的圓臺的容積大，這一點可以從圖42中清楚地看出來。少年測量容積的時候，是將4個a點代表的陰影面積全部忽略了。

上面這種簡單計算木桶容積的方法并不是馬因·里德書中的少年所獨創(chuàng)的，很多介紹幾何學的基本知識的課本中都有涉及，將其作為計算木桶容積近似值的簡單方法介紹給讀者。

我們知道，如果想要精確地計算木桶的容積可不是件容易的事情。17世紀時，著名的天文學家開普勒曾經(jīng)專門研究過如何計算木桶的容積，并為此留下了數(shù)學專著。迄今為止，人們依舊沒有發(fā)現(xiàn)簡單而又準確的計算木桶容積的方法，簡單的方法得到的都只是近似值，比如，在法國南部流行的計算木桶容積的方法就是如下的公式：木桶容積=3.2hRr這個公式在實際生活中是非常簡便好用的。

不知道你是否考慮過這個問題，我們?yōu)槭裁匆涯就白龀蛇@種形狀——中間逐漸拱起的圓柱體，而不做成規(guī)整的圓柱體或是正方體呢？這種形狀的優(yōu)勢到底在哪里呢？

人們將木桶設(shè)計為中間凸起的圓柱體的形狀是有原因的，這樣的形狀使人們很容易用錘子把桶箍牢牢地固定住，使木桶足夠的牢固。

你知道發(fā)現(xiàn)行星運動規(guī)律的天文學家開普勒是怎樣看待木桶容積這件地球上的小事情的嗎？他甚至還特地為此寫了一篇數(shù)學論文——《測量酒桶的新立體幾何》，讓我們看看他是怎樣寫的：

我們盛放紅酒用的大木桶，根據(jù)實際使用以及制造材料上的需要，采用的形狀既不是圓錐形也不是圓柱形，而是中間凸起的圓柱形。我們不能把酒放在金屬容器中，因為這樣容易腐蝕容器；玻璃器皿或陶瓷器皿不夠大，不能存放大量的酒；而石頭器皿又太重了，不容易搬起來，所以木頭做成的桶是最適合儲存酒的，人們從古代開始就用木桶來儲存酒。大樹砍掉后的樹干，可以被挖空做成木桶，但是這樣的木桶容量有限，而且樹干粗大的樹木也是有限的，所以我們看到的木桶都不是用一整棵樹做的，而是用很多根木條捆在一起制作的。這樣一來就有個問題需要解決，木條之間的縫隙怎么處理。如果不要液體流出來，那么只能用桶箍把木桶箍得緊緊的。

如果能夠用木條拼接成球形那是最好的，但是對于木頭這種材料來說不太切實際，因此只能考慮圓柱體，但是這個圓柱體不能是標準的圓柱形，因為這樣一旦桶箍松了，那么整個木桶都將無法固定好。如果木桶是凸起的形狀，那么當某處的桶箍松了，可以向木桶上較粗的地方移動。不僅如此，這樣的桶形，還方便搬運，可以在地上滾動。而且模樣也很圓潤美觀。

親愛的讀者可不要認為這是大科學家消遣時候?qū)懙男∥恼拢_普勒為了驗證這個問題，甚至把無窮小和微積分之類高等數(shù)學中的知識運用進來了，他將這個生活中的常見問題引申到了深奧的數(shù)學的高度。