2.7　如何架橋能使路程最短

問題：

請看圖30，有一條河流，兩邊的河岸基本是平行的，現在要在這條河上建造一架與河岸垂直的橋，使A到B的路程最短，這座橋應該建在哪里呢？

回答：

從A點作一條和河流方向垂直的直線，在這直線上截取和河面等寬的線段AC，連接B和C，這樣就能找到D點，在這個D點建橋，能夠使AB之間的距離最短。

圖30　在河上什么地方架一座與河岸垂直的橋，能使從A到B的路程最短

圖31　位置如圖所示

當我們從D點出發，垂直于河岸建起橋DE，如圖32所示，我們將E和A連接起來，得到一條從A出發的路徑AEDB，其中，AE和CD是互相平行的，ACDE是一個平行四邊形，兩邊AC和ED的長度相等而且互相平行。因此，AEDB的長度與ACB的長度相等。我們現在很容易證明任何一條別的路都要長于這條路。

假設存在一條這樣的路AMNB（圖33），它的距離要比AEDB短，選取一個點M，我們已知，AEDB的長度與ACB的長度相等，那么就是說，它的距離要比ACB短。我們先將C和N連接，可知CN等于AM，這就說明AMNB等于ACNB。但顯然，路徑CNB比路徑CB長，也就是ACNB比ACB長，所以也比AEDB長。通過這個不成立的假設，我們知道，AMNB并不比AEDB短，而是比它長。

如果你還不服氣，認為一定存在一個這樣的M點能使距離更短，那么你還可以用這種證明方法多證明幾次，你最終會發現，AEDB始終是最短的一條路徑。

圖32　DE就是滿足要求的橋圖

圖33　AEDB就是最近的路