一、數學的定義

在中國形式邏輯的教科書中，對定義的“定義”大體上是一致的^注47：定義是揭示研究問題對象內涵的邏輯方法。這樣的描述似乎非常深刻，這樣的描述對定義的功能寄托了很大的期望。這種對定義的理解源于古希臘哲學，因為古希臘哲學對定義的要求相當苛刻，比如，古希臘早期學者蘇格拉底就在論證過程中強調定義的嚴格，美國哲學家杜蘭特在他的著作中生動地描述了蘇格拉底的辯論場景，并且評價蘇格拉底的辯論風格時說^注48：“再也沒有比下定義更困難，更能嚴峻地考驗和鍛煉一個人思路的清晰和措辭的技巧了。”

事實上，現代哲學的發展表明，要對定義本身進行定義是一件非常困難的事情，并且隨著哲學研究的深入，人們給出定義的形式愈發多種多樣^注49。即便如此，為了研究數學推理的需要，這里依然確切地給出兩種數學定義的形態：一種稱為名義定義，源于古代中國哲學；一種稱為實質定義，源于古希臘哲學。在下面的論述中將會看到，這兩種形態的數學定義是必要的，似乎也是充分的。

名義定義。名義定義是指用舉例說明或者符號表達的方法賦予研究對象稱謂。如上引用《墨經·小取》所說的“以名舉實”，古代中國哲學認為，定義就是給某一類東西賦予稱謂，也正如春秋戰國哲學家公孫龍子在《指物論》中所說的那樣^注50：“如果沒有名，天下的物就沒有稱謂了”。

現代數學的發展表明，在遵循古希臘哲學對定義提出的苛刻要求的同時，還應當看到，古代中國哲學樸實而單純的關于定義的見解更為本質。這是因為，苛刻要求的定義對于數學最為本源、最為基本概念是行不通的，比如，算術中的自然數、加法；幾何中的點、線、面。下面，將通過數學定義的演變過程來論證這個問題。

古希臘數學家歐幾里得是用揭示內涵的方法定義數學概念最早的實踐者，他的著作《幾何原本》就是從點、線、面的定義開始的^注51：

1.點是沒有部分的。2.線只有長度而沒有寬度。5.面只有長度和寬度。

基于這些定義，以及規定了的5個公理和5個公設，歐幾里得就用演繹推理的方法，論證了一系列數學命題，特別是論證了一系列幾何命題的正確性。于是，歐幾里得形式邏輯的論證方法就成為數學研究的典范，也成為近代物理學研究的楷模，正如愛因斯坦曾經說過的那樣^注52：

西方科學的發展是以兩個偉大成就為基礎，那就是：希臘哲學家發明的形式邏輯體系（在歐幾里得幾何學中），以及通過系統的實驗發現有可能找出因果關系（在文藝復興時期）。

歐幾里得的定義揭示了幾何學最基本概念的內涵，這樣的定義抽象了人們對圖形的感覺。正是因為有了這樣的揭示和抽象，才使得歐幾里得幾何學的表達如此深刻，產生了如此深遠的影響。但是，對于越來越嚴格的數學，這樣的定義至少存在兩個本質上的弊病。

第一個弊病是關于內涵的。歐幾里得定義的描述似乎是天經地義的，可是細想起來，這些描述也實在是讓人費解：沒有部分是什么東西呢？只有長度、沒有寬度的東西是什么呢？這里不能不提出這樣的問題：歐幾里得所描述的東西存在嗎？比如，可以給出金山的定義：金山是指由金子堆積而成的山。那么，是否因為有了這個定義，就可以認為金山存在嗎？英國哲學家羅素在《西方哲學史》中曾經舉過這個例子，以此說明：所謂揭示內涵的定義可以不顧及所定義了的東西本身是否存在。

特別是，歐幾里得在后面的論證過程中，不加任何解釋就使用了這樣的命題：兩條直線相交必然交于一點。應當如何理解這個命題呢？兩條直線相交，怎么能交于沒有部分的地方呢？如此追究下去，貌似嚴謹的歐幾里得幾何必然會漏洞百出，而造成漏洞的原因就在于那些企圖揭示內涵的定義。古希臘學者賦予定義的功能太大，對定義的期望太高。

第二個弊病是關于外延的。根據歐幾里得的定義，能夠舉例說明什么是“點”嗎？或者更簡單，能夠判斷一個東西是不是“點”嗎？比如，基于人們眼睛觀察，“空氣”是沒有部分的，是不是就可以說“空氣”是“點”呢？顯然，利用歐幾里得的定義很難對這樣的對象進行判斷。

如果一個定義，又解釋不清內涵，又確定不了外延，這個定義還有什么意義呢？但是，不到萬不得已的時候，人們還是非常寬容的，是不會輕易改變的。當人們解釋不清晰無理數的時候，就企圖用幾何作圖的方法來解釋無理數的運算，雖然這個解釋最終是失敗的。兩千多年以后，當人們需要解釋幾何公理體系的相容性時，德國數學家希爾伯特又用解析幾何的方法論證了這樣的結論：“幾何公理體系的無矛盾性”可以歸結為“算術公理體系的無矛盾性”。而“算術公理體系的無矛盾性”是希爾伯特1900年在巴黎第二屆數學家大會上提出的23個問題中的第二個問題。

但是，萬不得已的時候還是到來了，原因并不是直接來源于幾何學，而是因為一個強大的數學工具微積分的出現。17世紀后半葉，英國科學家牛頓和德國哲學家、數學家萊布尼茨從不同角度獨立地發明了微積分。微積分威力無比，借助微積分的計算人們可以清晰地解釋天地萬物的運動規律，但令人尷尬的事情是，數學家們卻解釋不清楚這種計算方法的道理是什么，其中最主要的原因是解釋不清什么是極限。后來數學家終于意識到，為了合理地解釋包括微積分在內的數學體系，就必須重新認識和表達數學最基本的研究對象，就必須把“數”的表達與人們對直線段上“點”的直觀有機結合起來，正如德國數學家戴德金在《數的理論》這篇文章中，借用幾何直覺給出實數“連續”定義時所說的原則^注53：

茍直線上之點，裂為前后兩段，前段各點均在后段各點之左，如是則必有一點，且僅有一點使此兩段之分裂得以產生。

這樣，“點”就再也不是“沒有部分”的那種東西了，因為現在所說的點能夠把直線分割為兩個部分，這就意味著，數學家為了更有效地表達幾何學的研究對象，就必須徹底改變歐幾里得對幾何學基本概念所用的、揭示內涵的表述方法。改變的唯一途徑就是完全脫離幾何的直觀背景，使基本概念符號化。幾何概念的符號化定義是由希爾伯特完成的，他在1882年談出了自己的想法^注54：

如果幾何學要成為一門真正演繹的科學，那么必不可少的是：做出推論的方式既要與幾何概念的意義無關，又要與圖形無關；需要考慮的全部東西只是命題和定義所斷言的幾何概念之間的聯系。

基于這個想法，希爾伯特在1899年出版的著作《幾何基礎》中，模仿歐幾里得《幾何原本》把幾何學所要研究的對象寫在著作的開篇^注55：

設想有3組不同的對象：第一組的對象叫作點，用A，B，C……表示；第二組的對象叫作直線，用a，b，c……表示；第三組的對象叫作平面，用α，β，γ，……表示。點也叫作直線幾何的元素；點和直線叫作平面幾何的元素；點、直線和平面叫作空間幾何的元素或空間元素。

乍一看上面的定義，人們會以為希爾伯特是在開玩笑，這樣的定義只是用符號表示了所要研究的對象而已，這樣的定義等于什么也沒有說。確實如此，希爾伯特定義是對歐幾里得定義的終極否定：不僅沒有揭示對象的內涵，甚至沒有描述所要定義的對象是什么。關于這樣的定義，希爾伯特的理解是非常深刻的：如果說不清楚幾何所要研究的對象是什么，唯一的辦法就是形式化表示。這與前面所闡述的、古代中國先哲的看法是一致的：定義只不過是給一些東西起一個名字。

顯然，如果定義只是一種形式化的符號表示，定義本身、或者說定義了什么東西就不重要了。那么，什么樣的東西是重要的呢？重要的東西應當如何表達呢？希爾伯特曾經非常生動地闡述了他在《幾何基礎》這本著作中所給出的定義，并且述說了更重要的東西是什么^注56：

歐幾里得關于點、線、面的定義在數學上并不重要，它們之所以成為討論的中心，僅僅是因為公理述說了它們之間的關系。換句話說，無論是稱它們為點、線、面，還是稱它們為桌子、椅子、啤酒杯，最終推理得到的結論都是一樣的。

在給出研究對象的稱謂之后，希爾伯特提出了5組公理來確定研究對象之間的關系。借助這樣的公理體系，前面談到的“兩條直線相交必然交于一點”的問題就迎刃而解了。同時可以看到，有了這樣的公理體系，確實也不需要那些“揭示研究對象內涵”的定義了。

幾乎在相同的時間，意大利數學家皮亞諾用“后繼數”的思想符號化地定義了自然數^注57。皮亞諾的算術公理體系共有9條公理：第一條公理與第六條公理一起定義了自然數，同時也定義了加法；其余公理是為了保證自然數的唯一性、加法運算的合理性，以及數學歸納法的公理框架^注58。

現代數學的基本概念“集合”的定義也經歷了類似的過程。最初，德國數學家康托最早給出試圖揭示內涵的定義：集合是指研究對象的全體。可是，研究對象是什么呢？這樣的定義引發了諸多悖論，包括英國數理邏輯學家、哲學家羅素提出的理發師悖論。現在人們普遍認同的“集合”的定義基于ZF（策梅羅-弗蘭克爾）集合公理系統，這個系統包括9個公理，確立了集合是由元素唯一確定的、集合的運算、無窮集合的可能，等等，其中關于集合的定義也是名義上的^注59：

用大寫字母A,B,C表示集合；用小寫字母a,b,c表示元素；用∈表示屬于關系。如果元素a屬于集合A，則表示為a∈A。

綜上所述，希爾伯特關于“點線面”、皮亞諾關于“數”、策梅羅關于“集合”的定義有一個共同特征，那就是用符號表達研究對象、對研究對象賦予稱謂。這樣的定義徹底擺脫了研究對象的所有物理屬性，從而達到了抽象的極致。事實上，對于最為基本的概念，只有這樣的定義才能真正地避免悖論的出現，因為凡是具體的述說就必然會有反例。

可以看到，名義定義具有簡約、無歧義的特征，這種定義的可行性依賴于一個完備的公理體系，而對公理體系的理解需要相當的數學素養。這樣，始于基本概念的基礎教育階段的數學教育就陷入了兩難的境地：采用揭示內涵的定義無法保證數學的嚴謹，采用名義定義無法理解公理體系的邏輯。為此，基礎教育階段的數學教育必須獨辟蹊徑，汲取兩種定義的合理內核，歸納出人們通常認識基本概念的思維模式，形成切實可行的教學模式。這個思維模式和教學模式的核心就是“對應”，也就是說，可以采用對應的方法引導學生認識和理解數的基本概念。由于篇幅所限，不在這里討論這個問題，有興趣的讀者可以參見作者的一本書^注60。

如果說，數學最為基本的概念必須采用名義定義，那么，為了數學的發展而需要的那些概念則可以在基本概念的基礎上采用實質定義。

實質定義。實質定義是指用“屬加種差”的方法指明研究對象。其中“屬”和“種”均借用了生物學的概念：“種”是“屬”中特殊的一類，其中的特殊性能夠用“種差”表明。這樣的定義方法源于古希臘學者亞里士多德，亞里士多德認為每個合理的定義都應當有兩部分，使得定義能夠穩穩地站立在兩只腳上^注61：

首先，把特定的物體與具有同樣一般特征的物體歸為一類，比如，人是動物；其次，指出特定物體與同類其他物體差異的表現，比如，人是理性動物。

亞里士多德所說的兩部分，恰好構成了屬加種差的定義表達模式：人是“種”、動物是“屬”、理性是“種差”。其中，“種”是被定義的，稱為被定義項；“屬加種差”是定義的，稱為定義項。也就是說，在上述亞里士多德的話語中：“人”是被定義項，“理性動物”是定義項。下面，嘗試用數學符號表達實質定義。

用x表示一個元素，A表示一個集合，Ω表示一個類，P表示一個性質；用∈表示元素與集合之間的隸屬關系，?表示集合與集合、集合與類之間的包含關系；用x表示x具有性質P，A→P表示集合A中所有元素都具有性質P。

約定：當使用“集合”這個詞進行表述的時候，認為所談論的對象是清晰的；當用“類”這個詞進行表述的時候，可以認為談論的對象并不那么清晰。所謂的清晰是指：能夠確切地辨明一個對象屬于這個集合，還是不屬于這個集合。這樣，可以把實質定義表示為

x∈A?x∈Ω，x→P         （1）

這樣構建定義對于日常生活是可以的，比如，盡管大家并不清楚亞里士多德所說的“理性”到底是什么，因此無法判斷是否存在非理性的人，也無法判斷是否有人以外的理性動物，但依然可以使用亞里士多德的說法。可是，這樣的定義對于數學卻是不行的，因為（1）式所表達的定義還不夠清晰。在下一個話題將會一般性地看到，如果數學的定義不夠清晰，就必然會影響數學命題的確切性，進而影響數學推理的有效性。作為例子，討論一個現在仍然在使用的數學定義。在現行的中小學數學教科書中，關于方程的定義是這樣的：

稱含有未知數的等式為方程。

這個定義是屬加種差的形式：等式是“屬”、方程是“種”、含有未知數是“種差”。但是，含有未知數的等式未必就是方程，比如2x－x=x是一個含有未知數的等式，可這個等式表示的是符號運算，不是通常意義所說的方程。為什么會出現這樣的情況呢？問題出在定義中的“種差”，在上述定義中的種差“含有未知數”這個性質不足以約束構成方程的等式。按照通常理解，所謂等式就是含有等號的數學式子，而等號具有兩個功能^注62：第一個功能是表示數值（包括符號）運算的傳遞性，第二個功能是表示等式兩邊的數量相等。因此，第一個功能只是在講述一個故事，在這一個故事中數值（包括符號）是等價的、是可以遞推的；第二個功能必須講述兩個故事，在這兩個故事中兩個數量的意義可以不同，但數量相等。方程利用的是等號的第二個功能，而反例2x－x=x利用的是等號的第一個功能，基于這個理由，含有未知數的等式就不一定是方程。

因此，要構建方程的實質定義，除卻未知數這個要素外，還必須在性質中或者說在種差中彰顯等號的第二個功能。比如，可以把方程的定義表述如下：

稱含有未知數的表示等量關系的等式為方程。

在方程的實際教學中，強調方程的等量關系或許比單純強調方程中的未知數更便于學生理解和把握方程的本質。通過上面的例子可以看到，對于數學的實質定義應當提出更“嚴格”的要求：如果把（1）式的表達看作充分性的話，那么還需要定義的必要性。也就是說，在數學實質定義中，被定義項的稱謂與定義項的內涵述說必須是充分必要的^注63。對于這個要求，在（1）式的基礎上，可以用數學符號進一步表示為：

x∈A?x∈Ω，x→P;

x∈Ω，x→P?x∈A.            （2）

數學的實質定義要求上面兩個關系式同時成立。可以看到，實質定義的構建比較復雜，為了更好地規范和把握，人們制定出了一些規則，傳統意義的規則大概可以包括下面5條^注64：

1.定義應當揭示種的本質屬性。

2.定義不能循環。

3.定義既不能過寬又不能過窄。

4.定義不能用歧義的、晦澀的或比喻的語言表述。

5.定義可以用肯定表述就不用否定表述。

這5條規則似乎是非常合理的，可是，要使用這些規則來具體判斷一個話語是否能成為實質定義卻是非常困難的，因為這些要求過于籠統。簡要分析上述的五條要求。

第一條是重要的，為了構建數學的實質定義，揭示本質屬性的性質P必須是充分必要的；第二條極為重要，在數學上，定義的不循環是通過名義定義和實質定義這兩個層次實現的；第三條和第四條已經被充分必要的要求所包含；第五條對于數學的實質定義是顯然的。

事實上，如果要對一個數學概念構建實質定義，關鍵要思考兩個問題：一個問題是這個數學概念本身是否足夠清晰，需要判斷是否存在一個集合、能夠明確地知道這個概念是否屬于這個集合；另一個問題是對這個數學概念內涵的表述是否足夠清晰，需要判斷是否可以得到一個說明內涵的性質，使（2）式成立。如果這兩個問題都得到了滿足，就可以構建數學的實質定義。