二、數(shù)學(xué)的命題

數(shù)學(xué)定義確定了數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，數(shù)學(xué)的結(jié)果是通過命題表述的。與實(shí)質(zhì)定義一樣，命題的表達(dá)也是一個(gè)陳述語句，但命題的目的不是為了給一個(gè)事物命名，而是述說已經(jīng)命名了的事物的事情。命題陳述句述說的事情可能是正確的、也可能是錯(cuò)誤的，這樣，命題陳述句就為人們提供了一個(gè)判斷^注65：或者通過邏輯的方法進(jìn)行分析判斷，或者通過經(jīng)驗(yàn)的事實(shí)進(jìn)行證實(shí)判斷。人們稱前一種判斷方法為分析的，后一種判斷方法為綜合的。

數(shù)學(xué)命題的主觀性與客觀性。所謂數(shù)學(xué)命題的主觀性與客觀性是針對(duì)思想者而言的：如果命題是思想者正在思想的東西，那么數(shù)學(xué)命題就是主觀的；如果數(shù)學(xué)命題的存在與思想者無關(guān)，數(shù)學(xué)命題只是思想者要判斷的已經(jīng)存在了的東西，那么數(shù)學(xué)命題就是客觀的。

在中國，幾乎所有形式邏輯的教科書，關(guān)于命題的論述都隱含著“命題就是判斷”的指向^注66，這就意味著命題是主觀的，因?yàn)樗f的命題本身就承載著判斷功能。因此在本質(zhì)上，這些教科書中所討論的命題是思想者應(yīng)當(dāng)如何進(jìn)行思想的東西，無論如何，這樣的認(rèn)識(shí)不僅不利于研究數(shù)學(xué)推理的模式，也不利于指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)。弗雷格和胡塞爾都非常強(qiáng)調(diào)這樣的區(qū)別^注67，羅素則說得非常明確^注68：“命題就是可以有意義地加以斷定或否定的東西”，這樣命題就具有了客觀性。

對(duì)于數(shù)學(xué)命題，可以做這樣的劃分：如果是為了得到數(shù)學(xué)命題，那么數(shù)學(xué)命題就是主觀的，這時(shí)的數(shù)學(xué)命題是思想者正在思想著的東西；如果是為了驗(yàn)證數(shù)學(xué)命題，那么數(shù)學(xué)命題就是客觀的，這時(shí)的數(shù)學(xué)命題是思想者要進(jìn)行判斷的東西。雖然這兩種情況的思維過程都依賴邏輯推理，但推理形式卻有著本質(zhì)的不同。

兩類數(shù)學(xué)命題。就陳述的內(nèi)容而言，數(shù)學(xué)命題可以分為兩類：一類稱為性質(zhì)命題，命題陳述內(nèi)容涉及研究對(duì)象本身的性質(zhì)；一類稱為關(guān)系命題，命題陳述內(nèi)容涉及兩個(gè)或多個(gè)研究對(duì)象之間的關(guān)系。陳述內(nèi)容的不同會(huì)導(dǎo)致語言表達(dá)方式不同，進(jìn)而導(dǎo)致命題表述模式不同。羅素非常重視這種區(qū)分，甚至有過非常苛刻的論述^注69：

因此，陳述兩個(gè)事物具有某種關(guān)系的命題與主謂式命題具有不同形式，看不到這種區(qū)別或者不承認(rèn)這種區(qū)別，一直是傳統(tǒng)形而上學(xué)中許多謬誤的根源。

性質(zhì)命題就是主謂式命題，關(guān)系命題就是具有某種關(guān)系的命題。下面，針對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)容，分別討論這兩類命題的特征，以及各自的表述模式。

性質(zhì)命題。就語言的表述形式而言，性質(zhì)命題通常可以表示為系詞結(jié)構(gòu)，也就是用系詞“是”把研究對(duì)象x與性質(zhì)P連接起來。稱x為所指項(xiàng)、P為命題項(xiàng)，相當(dāng)于漢語語法中的主詞和謂詞。對(duì)于數(shù)學(xué)的性質(zhì)命題，所指項(xiàng)必須是定義了的東西：或者是名義定義，以公理體系作為定義的支撐；或者是實(shí)質(zhì)定義，以充分必要作為定義的支撐。性質(zhì)命題的陳述模式可以用符號(hào)表示為：

（x∈A）x?P      （3）

其中（x∈A）意味著：雖然在命題的陳述模式中沒有表現(xiàn)出來，但所指項(xiàng)x的定義必須是清晰的。用希臘字母Φ或者Ψ表示命題。就命題所陳述的內(nèi)容而言，又可以把性質(zhì)命題分為兩種情況。

第一種情況是充分必要。在本質(zhì)上，這里所說的“充分必要”與實(shí)質(zhì)定義討論的是一致的，即所指項(xiàng)定義的內(nèi)涵與性質(zhì)所包含的內(nèi)容是等價(jià)的。比如，可以把勾股定理寫成系詞結(jié)構(gòu)：

直角三角形是一條邊長(zhǎng)的平方等于其他兩條邊長(zhǎng)平方之和的三角形。

顯然，可以用充分必要的性質(zhì)命題的“性質(zhì)”給出研究新的定義，比如，基于上面的性質(zhì)命題，可以給出直角三角形新的定義：

稱一條邊長(zhǎng)的平方等于其他兩條邊長(zhǎng)平方之和的三角形是直角三角形。

因此在本質(zhì)上，數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)定義是充分必要的性質(zhì)命題。雖然所有充分必要的性質(zhì)命題都可以用“性質(zhì)”構(gòu)成研究對(duì)象的新定義，但在一般情況下，人們還是習(xí)慣用不需要論證的話語作為研究對(duì)象的定義。比如，用“一個(gè)角為直角的三角形”這樣的話語作為直角三角形的定義。

第二種情況是充分不必要。在一般意義下，性質(zhì)命題中的研究對(duì)象都具有命題中所述說的性質(zhì)，但具有性質(zhì)的那些東西并不只限于研究對(duì)象，比如下面的命題：

加法是滿足交換律的。

其中“加法”是研究對(duì)象，“交換律”是性質(zhì)。雖然加法必須滿足交換律，但滿足交換律的運(yùn)算并不只限于加法，比如還有乘法。基于上述分析，回顧曾經(jīng)討論過的方程的定義，雖然不是所有的含有未知數(shù)的等式都是方程，但陳述句“方程是含未知數(shù)的等式”可以作為性質(zhì)命題，因?yàn)檫@個(gè)陳述句是可供判斷的，也就是說，如果僅僅是作為一個(gè)數(shù)學(xué)命題、而不是作為數(shù)學(xué)定義，就不需要認(rèn)真探討其中所說的等式的具體含義到底是什么。

就陳述的形式而言，性質(zhì)命題也可以分為兩類：一類是肯定陳述，稱為正命題；一類是否定陳述，稱為否命題。這就意味著，通常所說的“逆命題”和“逆否命題”不能構(gòu)成數(shù)學(xué)命題。進(jìn)一步，人們通常用“否定之否定”等價(jià)“肯定”的邏輯，建立雙重否定律^注70：否否命題等價(jià)于原命題，但對(duì)于數(shù)學(xué)命題，這也是不允許的。作為說明，看下面的例子。

原命題：數(shù)是可以比較大小的。

逆命題：可以比較大小的是數(shù)。

否命題：數(shù)是不可以比較大小的。

逆否命題：不可以比較大小的不是數(shù)。

否否命題：數(shù)不是不可以比較大小的。        （4）

之所以說“逆命題”和“逆否命題”不能構(gòu)成數(shù)學(xué)命題，這是出于數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的要求。正如在解釋（3）式所說的，數(shù)學(xué)命題的所指項(xiàng)必須清晰，現(xiàn)在，由于不能清晰地給出上述“逆命題”的所指項(xiàng)“可以比較大小”，以及“逆否命題”的所指項(xiàng)“不可以比較大小”的確切定義，因此這樣的陳述句不能作為數(shù)學(xué)命題。進(jìn)一步，對(duì)于思維過程而言，上述否否命題與原命題似乎是一致的，但對(duì)于數(shù)學(xué)命題的判斷而言，這兩者之間卻有天壤之別：對(duì)于原命題的判斷，要求定義了的、所有的數(shù)都是可以比較大小的；但對(duì)于否否命題的判斷，只需要說明存在可以比較大小的數(shù)就可以了。因此，為了數(shù)學(xué)推理的一致性，否否命題不能成為數(shù)學(xué)命題。

事實(shí)上，“逆命題”“逆否命題”或者“否否命題”的表述可以作為思想者正在思想的東西，可以表達(dá)思想者的思維過程，但這樣的命題只具有“主觀性”不具有“客觀性”，無法進(jìn)行數(shù)學(xué)判斷，正如弗雷格所認(rèn)為的那樣^注71：主觀意義在語義學(xué)中應(yīng)不予以考慮，因?yàn)樗皇墙浑H信息來源。

這樣，就嚴(yán)格限制了數(shù)學(xué)性質(zhì)命題有且僅有兩種陳述形式：正命題和否命題。因?yàn)閷?duì)每一個(gè)的數(shù)學(xué)命題都有“肯定”“否定”兩種判斷形式，因此，就判斷形式與陳述形式而言，數(shù)學(xué)性質(zhì)命題只存在4種可能結(jié)果：正正、正否、否正、否否。其中，前面的“正”或者“否”表示命題的判斷形式，后面的“正”或者“否”表示命題的陳述形式。

關(guān)系命題。就語言的表述形式而言，關(guān)系命題的主詞中最少包含兩個(gè)以上研究對(duì)象，因?yàn)檫@類命題的目的是為了闡述一些研究對(duì)象之間的關(guān)系，因此這一類數(shù)學(xué)命題通常不能表示為系詞結(jié)構(gòu)。比如前面討論過的，希爾伯特以公理的形式表述了點(diǎn)與直線之間的關(guān)系：

對(duì)于兩點(diǎn)A和B，恒有一直線a，它同A和B這兩點(diǎn)的每一點(diǎn)相關(guān)聯(lián)。對(duì)于兩點(diǎn)A和B，至多有一直線，它同A和B這兩點(diǎn)的每一點(diǎn)相關(guān)聯(lián)。

上面兩句話形成了一條公理，這就是數(shù)學(xué)上通常所說的基本事實(shí)：兩點(diǎn)確定一條直線。顯然，這個(gè)基本事實(shí)是涉及關(guān)系的數(shù)學(xué)命題：明晰了“點(diǎn)”與“直線”之間的關(guān)系。與性質(zhì)命題不同，關(guān)系命題關(guān)注的不是研究對(duì)象本身，關(guān)注的是研究對(duì)象之間的關(guān)系，這就意味著，在公理體系中，數(shù)學(xué)家通過一系列的關(guān)系命題建立了研究對(duì)象之間的聯(lián)系。

在一般情況下，這一類命題可以寫成“如果……那么……”或者“若……則……”的形式，其中“如果”“若”引導(dǎo)的話語是命題的“條件”，“那么”“則”引導(dǎo)的話語是命題的“結(jié)論”。因此，關(guān)系命題通常可以分為“條件”與“結(jié)論”兩個(gè)部分。關(guān)系命題更多地表現(xiàn)在數(shù)學(xué)定理的述說，比如，初中平面幾何中的平線判定定理：

兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。      （5）

在這個(gè)命題中，背景是“兩條直線被第三條直線所截”，條件是“同位角相等”，結(jié)論是“兩條直線平行”。因?yàn)樵陉P(guān)系命題中，無論條件還是結(jié)論都是陳述句，很難用集合之間的關(guān)系來表達(dá)命題的結(jié)構(gòu)，但有一個(gè)關(guān)系結(jié)構(gòu)是明確：通過“條件”得到“結(jié)論”，也就是說，“條件”對(duì)于“結(jié)論”是充分的。如果用Q表示條件述說，用P表述結(jié)論述說，關(guān)系命題的陳述模式可以表示為：

如果x→Q，那么x→P。    （6）

比較（3）式可以看到，關(guān)系命題是由兩個(gè)、或者兩個(gè)以上性質(zhì)命題構(gòu)成的，與性質(zhì)命題有所不同的是，表述中的x不一定是單一的研究對(duì)象，可以是兩個(gè)以上的研究對(duì)象。比如，平行線判定定理（5）式中的x是指兩條直線。

關(guān)系命題與性質(zhì)命題最大的差異在于“否命題”“逆命題”等概念的表述。通過（6）式可以看到，如果從肯定述說“→”與否定述說“～”出發(fā)變化命題的形式，可以有兩類共8種變化，其中一類是基于條件的，另一類是基于結(jié)論的。

基于條件

（Ⅰ）如果x→Q，那么x→P。

（Ⅱ）如果x→Q，那么x～P。

（Ⅲ）如果x～Q，那么x→P。

（Ⅳ）如果x～Q，那么x～P。

基于結(jié)論

（Ⅴ）如果x→P，那么x→Q。

（Ⅵ）如果x→P，那么x～Q。

（Ⅶ）如果x～P，那么x→Q。

（Ⅷ）如果x～P，那么x～Q。

利用前面所述平行線判定定理（5）來說明上面的8種形式：

背景：兩條直線被第三條直線所截。

基于條件

（Ⅰ）如果同位角相等，那么兩條直線平行。

（Ⅱ）如果同位角相等，那么兩條直線不平行。

（Ⅲ）如果同位角不相等，那么兩條直線平行。

（Ⅳ）如果同位角不相等，那么兩條直線不平行。

基于結(jié)論

（Ⅴ）如果兩條直線平行，那么同位角相等。

（Ⅵ）如果兩條直線平行，那么同位角不相等。

（Ⅶ）如果兩條直線不平行，那么同位角相等。

（Ⅷ）如果兩條直線不平行，那么同位角不相等。

可以看到，上述8種形式都可以構(gòu)成關(guān)系命題。對(duì)于關(guān)系命題，只需要判定“條件”與“結(jié)論”之間的關(guān)系。建立關(guān)系判斷原則：以“條件”推斷“結(jié)論”是充分關(guān)系；以“結(jié)論”推斷“條件”是必要關(guān)系。那么，對(duì)于命題之間的聯(lián)系，只需要關(guān)心“充分必要”關(guān)系。可以把上面8種形式分為兩組，每組包括4種形式：（Ⅰ）（Ⅳ）（Ⅴ）（Ⅷ）和（Ⅱ）（Ⅲ）（Ⅵ）（Ⅶ），這樣，“充分必要”關(guān)系只存在于每組的形式之間。