試論數(shù)學(xué)推理過(guò)程的邏輯性：兼論什么是有邏輯的推理^注44

正在修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》一個(gè)突出的特點(diǎn)是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，至今為止提出6個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，其中一個(gè)是邏輯推理，把內(nèi)涵和外延表述為：

邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)。主要包括兩類(lèi)：一類(lèi)是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類(lèi)比；一類(lèi)是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。

事實(shí)上，數(shù)學(xué)教育、甚至邏輯學(xué)面臨一個(gè)尷尬的局面，一方面，人們確信數(shù)學(xué)的推理是有邏輯的，另一方面，人們又很難用簡(jiǎn)單的語(yǔ)言、一般性地表述清楚為什么數(shù)學(xué)的推理是有邏輯的。這是因?yàn)椋茈y用簡(jiǎn)單的語(yǔ)言、一般性地表述清楚什么樣的推理是有邏輯的。這里試圖把這個(gè)問(wèn)題討論清楚，試圖用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)表述清楚數(shù)學(xué)推理的形式，更確切地說(shuō)，表述清楚前文所說(shuō)的邏輯推理依據(jù)的規(guī)則是什么。雖然對(duì)于這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了長(zhǎng)時(shí)間的縝密思考，但仍然會(huì)有一些表述不確切、甚至不正確的地方，歡迎批評(píng)指正。

研究局限在數(shù)學(xué)范圍討論，因?yàn)橐话愕那闆r實(shí)在是太復(fù)雜。但是，因?yàn)閿?shù)學(xué)的推理是邏輯推理中最重要的內(nèi)容，因此研究結(jié)論對(duì)于更為一般性的邏輯推理的討論是具有借鑒意義的。無(wú)論如何，把這個(gè)問(wèn)題討論清楚，不僅對(duì)于數(shù)學(xué)教育的發(fā)展、乃至對(duì)于邏輯學(xué)的發(fā)展都是重要的。

討論中將不時(shí)地引入一些古代中國(guó)哲人的有關(guān)論述，這不僅僅是為了弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，更重要的原因是，作為后代子孫有責(zé)任研究清楚、并且表達(dá)清楚祖先的思維形式，以及這些思維形式對(duì)當(dāng)代思維的影響。

推理的對(duì)象是命題，命題中隱含著研究對(duì)象的定義，因此在具體討論之前，有必要從功能上認(rèn)識(shí)清楚定義、命題、推理之間的關(guān)系。對(duì)此，《墨經(jīng)·小取》中有一段言簡(jiǎn)意賅，但含義明確、寓意深刻的論述：“以名舉實(shí)，以辭抒意，以說(shuō)出故。”用現(xiàn)代語(yǔ)言把這段文字表述如下^注45：

通過(guò)定義（名）明確討論問(wèn)題的對(duì)象（實(shí)），通過(guò)命題（辭）表述討論問(wèn)題的實(shí)質(zhì)（意），通過(guò)論證（說(shuō)）得到討論問(wèn)題的緣由（故）。

可以這樣理解上述內(nèi)容。“以名舉實(shí)”的含義是：定義（名）是對(duì)象（實(shí)）的抽象，可以通過(guò)舉例來(lái)說(shuō)明（舉），這些抽象了的定義構(gòu)成了研究的對(duì)象；“以辭抒意”的含義是：定義本身并沒(méi)有表述研究對(duì)象的實(shí)質(zhì)（意），研究對(duì)象的實(shí)質(zhì)是通過(guò)命題（辭）表述的^注46。“以說(shuō)出故”的含義是：命題所表述的東西不一定就是正確的，其中的道理（故）是需要論證（說(shuō)）的。

可以看到，古代中國(guó)先哲、至少是有些先哲對(duì)定義和命題的功能、以及推理與這二者之間關(guān)系的理解是相當(dāng)深刻的。下面，分別討論數(shù)學(xué)定義、數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)推理及其相關(guān)內(nèi)容。