2.3 電弧數(shù)學(xué)模型

長(zhǎng)期以來(lái)，建立準(zhǔn)確的電弧數(shù)學(xué)模型一直是很多科研工作者的目標(biāo)。目前建立電弧數(shù)學(xué)模型主要有兩種途徑，一是對(duì)電弧進(jìn)行微觀研究，對(duì)在等離子區(qū)中存在的許多基本現(xiàn)象用公式表達(dá)，對(duì)能量轉(zhuǎn)換有準(zhǔn)確的估計(jì)，但這需要求解大量復(fù)雜的公式；二是對(duì)電弧進(jìn)行宏觀研究，認(rèn)為電弧是一個(gè)可變電阻，用非線性微分方程描述電弧。對(duì)于故障電弧檢測(cè)來(lái)說(shuō)，顯然利用電弧的宏觀模型更容易檢測(cè)。電弧電阻實(shí)際上由輸入與散出的能量關(guān)系決定，一般電弧模型方程的表達(dá)式為

式中：ia——電弧電流的瞬時(shí)值；

E——弧柱電壓梯度的瞬時(shí)值；

Ra——單位長(zhǎng)度電弧電阻的瞬時(shí)值；

P——單位長(zhǎng)度電弧的輸入功率，P=Eia；

N——單位長(zhǎng)度電弧的散出功率；

t——時(shí)間。

電弧電阻是弧隙中積累能量的函數(shù)，即

式中：Q——單位長(zhǎng)度電弧中積累的能量，包括熱能、氣體分子的分解能、激發(fā)能及游離能，它與電弧溫度和游離程度有關(guān)。

電弧中積累的能量Q為輸入能量與散出能量差值的積分，可表示為

對(duì)于靜態(tài)電弧，輸入能量與散出能量相等，即

P=Eia=N?。?-15）

電弧的動(dòng)態(tài)模型為

目前，關(guān)于電弧的數(shù)學(xué)模型，比較著名的有Cassie、Mayr兩種。Cassie模型認(rèn)為電弧具有圓柱形氣體通道形狀，其截面溫度均勻分布，且圓柱形通道具有明確的界限，圓柱形通道以外的電阻非常大。假如電弧電流發(fā)生變化，電弧直徑也將同時(shí)變化，但是溫度不變。電弧電壓梯度基本保持為常數(shù)，因此能量散出速度與弧柱橫截面的變化成正比，能量的散出由氣流或與氣流有關(guān)的弧柱變形導(dǎo)致。根據(jù)上述假設(shè)，Cassie電弧數(shù)學(xué)模型為

式中：τ——電弧時(shí)間常數(shù)，τ=qc/Nc；

g——電弧電導(dǎo)；

qc——單位體積電弧中的能量常數(shù)；

Nc——單位體積電弧散出功率常數(shù)；

u——電弧電壓；

Uc——電弧電壓常量。

Mayr也認(rèn)為電弧具有圓柱形氣體通道形狀，但其直徑是恒定的。從電弧散出去的能量是常數(shù)，且能量的散出依靠熱傳導(dǎo)和徑向擴(kuò)散的作用。電弧溫度隨著與電弧軸心的徑向距離、時(shí)間而發(fā)生變化，電弧散出的功率為常數(shù)。Mayr電弧數(shù)學(xué)模型可表示為

式中：g——電弧電導(dǎo)；

u——電弧電壓；

i——電弧電流；

τ——電弧時(shí)間常數(shù)；

P——散耗功率。

電弧電流過(guò)零前，由于電弧介質(zhì)被擊穿，電弧電阻較小，由Cassie電弧數(shù)學(xué)模型得到的電弧電流過(guò)零點(diǎn)前電弧電阻基本與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。因此，對(duì)于低電阻電弧，利用Cassie電弧數(shù)學(xué)模型的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本吻合。但是，由Mayr電弧數(shù)學(xué)模型計(jì)算電弧電流過(guò)零前電弧電阻時(shí)，理論值比實(shí)驗(yàn)值大很多倍，Mayr電弧數(shù)學(xué)模型不能用于電弧電流過(guò)零前（電弧低電阻狀態(tài)）的計(jì)算。電弧電流過(guò)零前后，按照Cassie電弧數(shù)學(xué)模型假定電弧電壓為常數(shù)，不符合電流過(guò)零后電弧電阻繼續(xù)增大的實(shí)際情況。根據(jù)Mayr電弧數(shù)學(xué)模型分析，電弧電壓梯度與電弧電阻的平方根成正比，在電弧高電阻狀態(tài)時(shí)比較符合，所以Mayr電弧數(shù)學(xué)模型更適合電弧高電阻狀態(tài)。

無(wú)論是Mayr電弧數(shù)學(xué)模型，還是Cassie電弧數(shù)學(xué)模型，都是非線性的，而且含有兩個(gè)未知數(shù)E和ia，因此還需要建立第二個(gè)方程式。一般可通過(guò)電路其他部分的特性得到。Mayr電弧數(shù)學(xué)模型和Cassie電弧數(shù)學(xué)模型都是在不同假定條件下只考慮一方面的散熱而定出的。然而，實(shí)際上電弧能量的散出是以這兩種假定結(jié)合起來(lái)的方式進(jìn)行的。有兩種方法可將Mayr電弧數(shù)學(xué)模型和Cassie電弧數(shù)學(xué)模型結(jié)合起來(lái)建立接近真實(shí)的模型。第一種用Cassie電弧數(shù)學(xué)模型計(jì)算電弧電流過(guò)零前的狀態(tài)，而利用Mayr電弧數(shù)學(xué)模型對(duì)電流過(guò)零后的電弧狀態(tài)進(jìn)行計(jì)算；第二種將兩種電弧數(shù)學(xué)模型合并成一個(gè)統(tǒng)一的模型，即對(duì)電弧能量散出功率既考慮傳導(dǎo)，也考慮對(duì)流。由于電弧的時(shí)間常數(shù)是隨時(shí)間而變化的，Mayr和Cassie兩個(gè)電弧數(shù)學(xué)模型的時(shí)間常數(shù)也有待商榷。也就是說(shuō)，電弧電阻的表達(dá)要比兩個(gè)電弧數(shù)學(xué)模型更加復(fù)雜。

實(shí)際上電弧時(shí)間常數(shù)和耗散功率都不是常數(shù)，對(duì)Mayr電弧數(shù)學(xué)模型進(jìn)行改進(jìn)，將時(shí)間常數(shù)和耗散功率看作電弧電導(dǎo)函數(shù)，形成了Schwarz電弧數(shù)學(xué)模型。這樣就不需要對(duì)Mayr電弧數(shù)學(xué)模型做任何限定性的假設(shè)，Schwarz電弧數(shù)學(xué)模型可表示為

式中：g——電弧電導(dǎo)；

u——電弧電壓；

i——電弧電流；

τ——電弧時(shí)間常數(shù)；

P——散耗功率；

a——影響τ的參數(shù)；

b——影響P的參數(shù)。

2000年，有文獻(xiàn)對(duì)Mayr電弧數(shù)學(xué)模型做了進(jìn)一步改進(jìn)，提出了Schavemaker電弧數(shù)學(xué)模型。該模型具有恒定的時(shí)間參數(shù)和與輸入功率相關(guān)的耗散功率。模型參數(shù)根據(jù)電流過(guò)零點(diǎn)時(shí)的測(cè)量結(jié)果確定，能夠成功地再現(xiàn)電弧的中斷和重燃，該電弧數(shù)學(xué)模型為

式中：g——電弧電導(dǎo)；

τ——電弧時(shí)間常數(shù)；

u——電弧電壓；

i——電弧電流；

Uarc——在大電流時(shí)的電弧電壓，一般為固定值；

P0——耗散功率；

P1——與輸入功率有關(guān)的耗散功率，與斷路器內(nèi)滅弧介質(zhì)熱阻引起的壓力有關(guān)。

對(duì)于交流故障電弧，由于故障電弧串聯(lián)在線路里，因此式（2-20）中的P1可以不用考慮，可以得到Schavemaker電弧數(shù)學(xué)模型在故障電弧時(shí)的簡(jiǎn)化模型

從式（2-20）和式（2-21）可以知道電弧電阻是一個(gè)不斷變化的數(shù)值。實(shí)際上，在進(jìn)行故障電弧檢測(cè)時(shí)，并不需要得到準(zhǔn)確的電弧電阻的數(shù)值。

對(duì)電流過(guò)零點(diǎn)附近的電壓和電流的精確測(cè)量結(jié)果表明，使用Cassie電弧數(shù)學(xué)模型或Mayr電弧數(shù)學(xué)模型對(duì)其描述是不夠準(zhǔn)確的。Habedank對(duì)Cassie電弧數(shù)學(xué)模型和Mayr電弧數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了合并，將二者串聯(lián)成一個(gè)電弧數(shù)學(xué)模型，稱為Habedank電弧數(shù)學(xué)模型。該模型沒(méi)有物理意義，只用來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，可表達(dá)為

式中：g——電弧電導(dǎo)；

u——電弧電壓；

i——電弧電流；

gc——Cassie電弧數(shù)學(xué)模型中的電弧電導(dǎo)；

gm——Mayr電弧數(shù)學(xué)模型中的電弧電導(dǎo)；

τc——Cassie時(shí)間常數(shù)；

τm——Mayr時(shí)間常數(shù)；

P0——電弧穩(wěn)定耗散功率。

Habedank電弧數(shù)學(xué)模型集合了Cassie電弧數(shù)學(xué)模型和Mayr電弧數(shù)學(xué)模型的優(yōu)點(diǎn)。在高電流下，幾乎所有的電壓降都發(fā)生在Cassie電弧數(shù)學(xué)模型部分；而在電流過(guò)零點(diǎn)前不久，Mayr電弧數(shù)學(xué)模型的貢獻(xiàn)增加，承擔(dān)了電流中斷后的所有恢復(fù)電壓，可以更好地反映實(shí)際電弧的非線性動(dòng)態(tài)特征。