二、速度

朋友，你留神過嗎？當你舒舒服服地坐著，因為有什么事要走開的時候，你站起來后走的前幾步一定比較慢，然后才漸漸地加快。將要到達你的目的地時，你又會慢起來的。自然這是一般的情形，賽跑就是例外。那些運動家在賽跑的時候，因為被獎品沖昏了頭腦，就是已到了終點，還是玩命地跑。不過這時的終點，只是對“獎品到手”的一聲叫喊。他們真要停住，總得慢跑幾步，不然就得要人來攙扶，不然就只好跌倒在地上。這種行動的原則，簡直是自然界的法則，不只是你我知道，你去看狗跑、看鳥飛、看魚游。

還是說火車吧！一列火車初離站臺的時候，行駛得多么平穩、多么緩慢，后來它的速度卻漸漸快了起來，在長而直的軌道上奔馳。快要到站的時候，它的速度又漸漸減小了，后來才停止在站臺邊。記好這個速度變化的情況，假使經過兩個半小時，火車一共走了125公里。要問這火車的速度是什么，你怎樣回答呢？

我們看見了每一瞬間都在變化的速度，那在某路線上的一列車的速度，我們能說出來嗎？能全憑旅行人的遲鈍的測量回答嗎？

再舉一個例，然后來講明速度的意義。

用一塊平滑的木板，在上面挖一條光滑的長槽，槽邊上刻好厘米、分米和米各種數目。把一個光滑的小球放在木槽的一端，讓它自己向前滾出去，看著時表，注意這木球過1米、2米、3米的時間，假設正好是1秒、2秒和3秒。

這木球的速度是什么呢？

在這種簡單的情形中，這問題很容易回答：它的速度在3米的路上總是一樣的，每秒鐘1米。

在這種情形底下，我們說這速度是一個常數。而這種運動，我們稱它是“等速運動”。

一個人騎自行車在一條直路上走，若是等速運動，那么它的速度就是常數。我們測得他8秒鐘共走了40米，這樣，他的速度便是每秒鐘5米。

關于等速運動，如這里所舉出的球的運動、自行車的運動，或其他相似的運動，要計算它們的速度，這比較容易。只要考察運動所經過的時間和通過的距離，用所得的時間去除所得的距離，就能夠得出來。3秒鐘走3米，速度為每秒鐘1米；8秒鐘走40米，速度為每秒鐘5米。

再用我們的球來試速度不是常數的情形。

把球“擲”到槽上，也讓它自己“就勢”滾出去，我們可以看出，它越滾越慢，假設在5米的一端停止了，一共經過10秒鐘。

這速度的變化是這樣：前半段的速度比在半路的大，后半段的速度卻漸漸減小，到了終點便等于零。

我們來推究一下，這樣的速度，是不是和等速運動一樣是一個常數？

我們說，它10秒鐘走過5米，倘若它是等速運動，那么它的速度就是每秒鐘5/10或1/2米。但是，我們明明可以看出來，它不是等速運動，所以我們說每秒鐘1/2米是它的“平均速度”。

實際上，這球的速度先是比每秒鐘1/2米大，中間有一個時候和它相等，以后就比它小了。假如另外有個球，一直都用這個平均速度運動，它經過10秒鐘，也是停止在5米的地方。

看過這種情形后，我們再來答復前面關于火車的速度的問題：“假使經過兩個半小時，火車一共走了125公里，這火車的速度是什么？”

因為這火車不是等速運動，我們只能算出它的平均速度來。它兩個半小時一共走了125公里，我們說，它的平均速度在那條路上是每小時125/5/2公里，就是每小時50公里。

我們來想象，當火車從車站開動的時候，同時有一輛汽車也開動，而且就是沿了那火車的軌道走，不過它的速度總不變，一直是每小時50公里。起初汽車在火車的前面，后來被火車追上來，到最后，它們卻同時到達停車的站上。這就是說，它們都是兩個半小時一共走了125公里，所以每小時50公里是汽車的真速度，而是火車的平均速度。

通常，若知道了一種運動的平均速度和它所經過的時間，我們就能夠計算出它所通過的路程。那兩個半小時一共走了125公里的火車，它有一個每小時50公里的平均速度。倘若它夜間開始走，從我們的時表上看去，一共走了七個小時，我們就可計算出它大約走了350公里。

但是這個說法，實在太粗疏了！只是給了一個總集的測量，忽略了它沿路的運動情形。那么，還有什么方法可以更好地知道那火車的真速度呢？

倘若我們再有一次新的火車旅行，我們能夠從鐵路旁邊立著的電線桿上看出公里的數目，又能夠從時表上看到火車所行走的時間。每走1公里所要的時間，我們都記下來，一直記到125次，我們就可以得出125個平均速度。這些平均速度自然全不相同，我們可以說，現在對于那火車的運動的認識是很詳細了。由那些漸漸加大又漸漸減小的125個不同的速度，在這一段行程中，火車的速度的變化的觀念，我們大體是有了。

但是，這就夠了嗎？火車在每一公里中間，它是不是等速運動呢？倘若我們能夠回答一個“是”字，那自然上面所得的結果就夠了。可惜這個“是”字不好輕易就回答！我們既已知道火車全程不是等速運動，同時卻又說，它在每一公里中是等速運動，這種運動的情形實在很難想象得出來。兩個速度不相等的等速運動，是沒法直接相連接的。所以我們不能不承認火車在每一公里內的速度也有不少的變化。這個變化，我們有沒有方法去考察出來呢？

方法自然是有的，照前面的式樣，比如說，將一公里分成一千段，假如我們又能夠測出火車每走一小段的時間，那么我們就可得出它在一公里的行程中的一千個不同的平均速度。這很好，對于火車的速度的變化，我們所得到的觀念更清晰了。倘若能夠將測量弄得更精密些，再將每一小段又分成若干個小小段，得出它們的平均速度來。段數分得越多，我們得出來的不同的平均速度也就跟著多起來。我們對于那火車的速度的變化的觀念，也更加明了。路程的段落越分越小，時間的間隔也就越來越近，所得的結果也就越弄越精密。然而，無論怎樣，所得出來的總是平均速度。而且，我們還是不要太高興了，這種分段求平均速度的方法，若只空口說白話，我們固然無妨樂觀一點，可盡量地連續想下去。至于實際要動起手來，那就有個限度了。

若想求物體轉動或落下的速度，即如行星運轉的速度，我們必須取出些距離——若那速度不是一個常數，就盡可能地取最小的——而注意它在各距離中經過的時間，因此得到一些平均速度。這一點必須注意，所得到的只是一些平均速度。

歸根結底一句話，我們所有的科學實驗，或日常經驗，都由一種連續而有規律的形式給我們一個有變化的運動的觀念。1我們不能夠明明白白地辨認出比較大的速度或比較小的速度當中任何速度的變化。雖是這樣，我們可以想象在任意兩個相鄰的速度中間，總有無數個中間速度存在著。

為了測量速度，我們把空間分割成一些有規則的小部分，而在每一小部分中，注意它所經過的時間，求出相應的“平均速度”，這是上面已說過的方法。空間的段落越小，得出來的平均速度越接近，也就越接近真實速度。但無論怎樣，總不能完全達到真實的境界，因為我們的這種想法總是不連續的，而運動卻是一個連續的量。

這個方法只能應用到測量和計算上，它卻不能講明我們的直覺的論據。

我們用了計算“無限小”的方法所推證得的結果來調和這論據和實驗的差別，這是非常困難的，但是這種困難在很久以前就很清楚了，即如大家都知道的芝諾（Zeno of Elea）和他著名的芝諾悖論（Zeno’s Paradox）。所謂“飛矢不動”，便是一個好例。既說那矢是飛的，怎么又說它不動呢？這個話，中國也有《莊子》上面講到公孫龍那班人的辯術，就引“鏃矢之疾也，而有不行不止之時”這一條。不行不止，是怎樣一回事呢？這比芝諾的話來得更玄妙了。從我們的理性去判斷，這自然只是一種詭辯，但要找出芝諾的論證的錯誤，而將它推翻，卻也不容易。芝諾利用這個矛盾的推論來否定運動的可能性，他卻沒有懷疑他的推論方法究竟有沒有錯誤。這卻給了我們一個機緣，讓我們去找尋新的推論方法，并且把一些新的概念弄得更精密。關于“飛矢不動”這個悖論可以這樣說：“飛矢是不動的。因為在它的行程上的每一剎那，它總占據著某一個固定的位置。所謂占據著一個固定的位置，那就是靜止的了。但是一個一個的靜止連接在一起，無論有多少個，它都只有一個靜止的狀態。所以說飛矢是不動的。”

在后面，關于這個從古至今打了不少筆墨官司的芝諾悖論的解釋，我們還要重復說到。這里，只要注意這一點，芝諾的推論法，是把時間細細地分成了極小的間隔，使得他的反對派中的一些人推想到，這個悖論的奧妙就藏在運動的連續性里面。運動是連續的，我們從上例中早已明白了。但是，這個運動的連續性，芝諾在他無限地細分時間的間隔的當兒，卻將它弄掉了。

連續性這東西，從前希臘人也知道。不過他們所說的連續性是直覺的，我們現在講的卻是由推論得來的連續性。對于解答“飛矢不動”這個悖論，顯而易見，它是必要條件，但是單只有它并不充足。我們必須要精密地確定“極限”的意義，我們可以看出來，計算“無限小”的時候，就要使用到它的。

照前幾段的說法，似乎我們對于從前的希臘哲人，如芝諾之流，有些失敬了。然而，我們可以看出來，他們的悖論雖然不合于真理，但他們已經認識到直覺和推理中的矛盾了！

怎樣彌補這個缺憾呢？

找出一個實用的方法來，確保測量的精密性，使所得的結果更接近于真實，是不是就可以解決這樣的問題呢？

這本來只是關于機械一方面的事，但以后我們就可以看出來，將來實際所得的結果即使可以超越現在的結果，根本的問題卻還是解答不出來。無論研究方法多么完備，總是要和一串不連續的數連在一起，所以不能表示連續的變化。

真實的解答是要發明一種在理論上有可能性的計算方法，來表示一個連續的運動，能夠在我們的理性上面，嚴密地講明這連續性，和我們的精神所要求的一樣。