一、第一步

我們來開始講正文吧，先從一個極平常的例說起。

假如，我和你兩個人同乘一列火車去旅行，在車里非常寂寞，不湊巧我們既不是詩人，不能從那些經(jīng)過車窗往后飛奔的田野、樹木汲取什么“煙士披里純”；我們又不是畫家，能夠在剎那間感受到自然界色相的美。我們只有枯坐了，會覺得那車子走得很慢，真到不耐煩的時候，也許竟會感到比我們自己步行還慢。但這全是主觀的，就是同樣地以為它走得太慢，我們所感到的慢的程度也不一定相等。我們只管詛咒車子跑得不快，車子一定不肯甘休，要我們拿出證據(jù)來，這一下子有事做了，我們兩個人就來測量它的速度。

你立在車窗前數(shù)那鐵路旁邊的電線桿——假定它們每兩根的距離是相等的，而且我們已經(jīng)知道了時間——我看著我的表。當(dāng)你看見第一根電線桿的時候，你立刻叫出“1”來，我就注意我表上的秒針在什么地方。你數(shù)到一個數(shù)目要停止的時候，又將那數(shù)叫出，我再看我表上的秒針指什么地方。這樣屈指一算，就可以得出這火車的速度。假如得出來的是每分鐘走1公里，那么60分鐘，就是1小時，這火車要走60公里，火車的速度就是每小時60公里。無論怎樣，我們都不好說它太慢了。同樣地，若是我們知道：一個人12秒鐘可以跑100米，一匹馬30分鐘能跑15公里，我們也可以將這個人每秒鐘的或這匹馬每小時的速度算出來。

這你覺得很容易，是不是？但你真要做得對，就是說，真要得出那火車或人的精確的速度來，實際卻很難。比如你另換一個方法，先只注意火車或人從地上的某一點跑到某一點要多長時間，然后用卷尺去量那兩點的距離，再計算他們的速度，就多半不會恰好。火車每小時走60公里，人每12秒鐘可跑100米。也許火車走60公里只要56又3/10分，人跑100米不過11又3/5秒。你只要有足夠的耐心，盡可以去測幾十次或一百次，你一定可以看出來，沒有幾次的得數(shù)是全然相同的。所以速度的測法，說起來簡便，做起來那就不容易了。你測了一百次，說不一定沒有一次是對的。但這一點關(guān)系也沒有，即使一百次中有一次是對的，你也沒有法子知道究竟是哪一次。歸根結(jié)底，我們不得不穩(wěn)妥地說，只能測到“相近”的數(shù)。

說到“相近”，也有程度的不同，用的器械——時表、尺子——越精良，“相近”的程度就越高，反過來誤差就越大。用極精密的電子表測量時間，誤差可以小于百分之一秒。我們可以想象，假如將它弄得更精密些，可以使誤差小于千分之一秒，或者還要小些。但無論怎樣小，要使這誤差沒有，卻很難做到！

同樣地，我們對于一切運動的測量，也只能得相近的數(shù)。第一，自然是因為要測運動，總得測那種運動所經(jīng)過的距離和花費的時間，而這距離和時間的測量就只能得到相近的數(shù)。還不只這樣，運動本身也是變動的。

假定一列火車由一個速度變到另一個較大的速度，就是變得更快一些，它絕不能突然就由前一個跳到第二個。那么，在這兩個速度當(dāng)中，有多少不同的中間速度呢？這個數(shù)目，老實說，是無限的呀！而我們的測量方法，卻只容許我們計算出一個有限的數(shù)來。我們計算的時候，時間的單位取得越小，所得的結(jié)果自然越和真實的速度相近。但無論用一秒鐘做單位或十分之一秒鐘做單位，在相鄰的兩秒鐘或兩個十分之一秒鐘中，常常總是有無限的中間速度。

能夠確切認知的速度原是抽象的！

這個抽象的速度只存在于我們的想象中。

這個抽象的速度，我們能夠理會，卻不能從經(jīng)驗中得到。在一些我們能測量得到的速度中，可以有無限的中間速度存在。既然我們已經(jīng)知道所測得的速度不精確，為什么又要用它？這不是在欺騙自己嗎？

為了安撫我們低落的情緒及填補這個缺陷，需要一個理論上的精確的數(shù)目和一個容許計算到無限制的相近數(shù)的理論。順應(yīng)這個需要，人們就發(fā)現(xiàn)了微積分。

哈哈！微積分的發(fā)現(xiàn)是一件很有趣味的事。英國的牛頓（Newton）和德國的萊布尼茨差不多在同一時間發(fā)現(xiàn)了微積分，弄得英國人認為微積分是他們的恩賜，德國人也認為這是他們的禮物，各人自負著。其實呢，牛頓是從運動上研究出來的，而萊布尼茨卻是從幾何上出發(fā)的，不過殊途同歸罷了。這個原理的發(fā)現(xiàn)，真是功德無量，現(xiàn)在數(shù)學(xué)園地中的大部分建筑都用它當(dāng)臺柱，物理園地的飛黃騰達也全倚仗它。這個發(fā)現(xiàn)已有兩百年了，它對于我們的科學(xué)思想著實有巨大的影響。就是說，假使微積分的原理還沒有發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)在所謂的文明，一定不是這樣輝煌，這絕不是夸張的話！