8 什么是“陽馬術”？

在現實生活中，經常會遇到多面體體積的計算問題，中國古代的數學家很早就開始關注此類問題，其中最著名的成就是魏晉時期的數學家劉徽的“陽馬術”。

在早期的數學著作《九章算術》中，就給出了許多種多面體體積的計算公式，其中包括“塹堵”“陽馬”“鱉臑”三種由長方體切割而成的多面體。將一個長方體切割為兩個全等的楔形即為塹堵，再將塹堵斜切為一個四面體和一個四棱錐，前者為陽馬，后者為鱉臑。陽馬的底面為矩形，有一條棱垂直于底面，而鱉臑的四面皆為直角三角形。

“塹堵”“陽馬”“鱉臑”

劉徽認為，這三種多面體體積的計算十分重要，因為任何多面體都可以切割為有限個四面體，而每個四面體都可以切割為不超過6個鱉臑。很顯然，塹堵的體積為長方體的二分之一?！毒耪滤阈g》給出了陽馬體積為長方體三分之一的結論，但并未給出證明。

為此，劉徽制作了一些長寬高皆為一尺的立方、塹堵、陽馬和鱉臑模型，并分別涂成紅黑兩色，再拼成長寬高皆為二尺的紅色大鱉臑和黑色大陽馬，二者合并成一個紅黑大塹堵。將這個大塹堵拆分重組可得到兩個黑色立方和一個紅色立方，以及兩個形狀和紅黑比都與大塹堵完全相同的塹堵。如果按同樣的方法再切割這兩個塹堵，又可以得到更小的立方和更小的塹堵，這樣不斷進行下去，所得的立方的紅黑比總是1：2，而剩余部分越來越小，直至窮盡。

通過這種方法，劉徽嚴密地證明了陽馬的體積為鱉臑的二倍。這一論證過程叫作“陽馬術”，它運用了極限的概念。這個結論如今被稱為“劉徽原理”。