7 什么是“幻方”？

幻方也叫縱橫圖，是中國古代的一種數學游戲，要求在N乘N的正方形格子中填上從1到N2共N2個連續自然數，使得每行、每列和兩條對角線上的數字之和都相等。

最簡單同時也是最古老的幻方是三階幻方，也就是有3乘3共9個格子，也叫作九宮圖。西漢末年的一些占卜書中出現的三階幻方，是現存最早的幻方實物。

關于三階幻方還有一個著名的傳說。伏羲時，黃河中躍出一匹龍馬，馬背上馱著一幅圖；后來大禹治水時，又從洛水中浮出一只神龜，龜背上也有一張圖。這兩幅圖被稱為“河圖”與“洛書”。但對于它們具體是什么一直語焉不詳，直到宋代人們將其明確為三階幻方。

河圖

洛書

張潮修正后的十階幻方

最早從數學角度對幻方加以研究的是南宋數學家楊輝。他在《續古摘奇算法》一書中給出了三至十階幻方，其中四至八階幻方都給出了陰、陽兩種構造，還對四階幻方的構造方法做了詳細說明。除了標準幻方，楊輝還給出了一些變形幻方，不一定要求每行每列與對角線之和全部相等，也不一定是正方形。楊輝將八階幻方稱作“易數圖”，這應該是因為8×8=64，與64卦相吻合。他將十階幻方稱作“百子圖”，有趣的是，他在書中給出的十階幻方是錯誤的，每行每列之和都是505，而兩個對角線之和分別為470和540。清初的張潮發現了這一錯誤，并給出了正確的構造。