用悖論取勝

埃弗龍的骰子也許能幫你在朋友面前炫耀一把。你可以提出這樣的游戲：“這里有四枚骰子A、B、C、D，每人各選一枚，我讓你先選，然后我們一起擲5次骰子，看誰贏的輪數(shù)多。”

如果你的朋友選了骰子A，那么你就選骰子D，它比骰子A要強(qiáng)；如果他選的是骰子B，那么你就選比它強(qiáng)的骰子A，如此等等。非傳遞性鏈條可以保證你一定能選到比這位“冤大頭”更強(qiáng)的骰子。

每一次擲骰子你都有三分之二的機(jī)會(huì)贏，如果五輪三勝的話，你贏的機(jī)會(huì)就是79.01%。如果你覺得這樣風(fēng)險(xiǎn)還是太大，那么可以提出一共玩25輪，而不是5輪，這樣你就能在95.84%的情況下獲勝。具體的計(jì)算就是，在你以2/3的機(jī)會(huì)贏下每一局的前提下，將在25輪中贏得25輪、24輪、23輪……一直到贏得13輪的概率全部加起來。二項(xiàng)分布告訴我們，在這種情況下，擲輪骰子恰好贏輪的概率是。我們從中就能得到之前所說的79.01%和95.84%。

只有在你朋友沒起疑心的情況下，你才能用埃弗龍骰子大獲全勝。有一天，美國的億萬富翁沃倫·巴菲特就向美國微軟公司創(chuàng)始人比爾·蓋茨提出用埃弗龍骰子來打賭。當(dāng)然，巴菲特請(qǐng)蓋茨先選擇骰子。蓋茨起了疑心，仔細(xì)分析了那些骰子，然后建議巴菲特先選。沒人知道他們打算押下多少賭注！

故事講到這里，有點(diǎn)吊人胃口。我們用四枚骰子能取勝，那么三枚行不行？能不能避免在不同的面上寫相同的數(shù)字？因?yàn)檫@樣既不雅觀又讓人起疑。為了讓玩家覺得骰子更漂亮、更放心，有沒有可能做到三枚骰子各自面上數(shù)字之和都相同（從而平均值也相同）？

2．非傳遞性的顛倒世界

非傳遞性能讓你百思不得其解！在體育運(yùn)動(dòng)中，A隊(duì)贏B隊(duì)、B隊(duì)贏C隊(duì)、C隊(duì)贏A隊(duì)的事情并不少見。這不滿足傳遞性（如果a＞b并且b＞c，那么a＞c）。如果A隊(duì)狀態(tài)不好，對(duì)陣C隊(duì)的時(shí)候打得很爛，那么這種事情就會(huì)發(fā)生。這種現(xiàn)象在數(shù)學(xué)中也經(jīng)常出現(xiàn)，而且不能用“狀態(tài)不好”來解釋我們觀察到的非傳遞性。盡管這一局和下一局之間的一切不變，但也會(huì)發(fā)生像“石頭、剪刀、布”（圖a）這樣的情況：剪刀贏布（因?yàn)榧舻赌芗糸_布），布贏石頭（因?yàn)椴寄馨∈^），而石頭贏剪刀（因?yàn)槭^能砸爛剪刀）。

孔多塞悖論也很經(jīng)典。假設(shè)有60位選民投票給三名候選人A、B和C，其中有23位選民的排序是A＞B＞C，17位是B＞C＞A，2位是B＞A＞C，10位是C＞A＞B，還有8位是C＞B＞A。

這樣的話，有33位選民覺得A比B好，不贊成的有27位；42位選民覺得B比C好，不贊成的有18位；35位選民覺得C比A好，不贊成的有25位。

選民表達(dá)出的偏好組成了非傳遞性鏈條：A ＞ B ＞ C ＞ A。

埃弗龍的四枚骰子（見第3頁）也以類似的形式組成了非傳遞性鏈條。

還有人發(fā)明了其他骰子游戲，比起孔多塞悖論或者埃舍爾那不斷上升卻又回歸原點(diǎn)的不可能階梯（圖b）來說，它們擁有更違反直覺的性質(zhì)。