第1章 埃弗龍的古怪骰子

有些骰子帶來的勝負結局會很奇怪，與直覺完全不同，令人“誤入歧途”。即便是同一個骰子，如果不是擲一次而是兩次，那么勝負的結果可能就反過來了！

假如1比2好、2比3好……直到比好，那么1當然要比好啊！但是，這不一定。在某些情況下，傳遞性不存在：1會輸給。

馬丁·加德納喜歡那些令人困惑又顛覆常識的小游戲。正是他廣泛宣傳了埃弗龍的非傳遞性骰子，后續精彩的派生游戲讓最初的悖論撲朔迷離。在1970年《科學美國人》的每月專欄上，加德納介紹了美國斯坦福大學的統計學家布拉德利·埃弗龍剛剛發明的四枚骰子：

我們將這些骰子寫成A =[0, 0, 4, 4, 4, 4]，B =[3, 3, 3, 3, 3, 3]，C =[2, 2, 2, 2, 6, 6]，D =[1, 1, 1, 5, 5, 5]。我們假設這些骰子沒做過手腳，每個面朝上的概率都是1/6。同時擲下骰子A和骰子B，點數大的算贏的話，一共有6×6=36種概率相同的可能性，其中有12種是“A擲到0而B擲到3”，而有24種“A擲到4而B擲到3”。于是骰子A贏了的情況有24種，而骰子B贏的情況只有12種。骰子A在三分之二的情況下都能勝利，自然更好。

比較骰子B和骰子C的話，會發現B也能在三分之二的情況下戰勝C；同樣，C在三分之二的情況下能戰勝D。驚人的是，D也能在三分之二的情況下戰勝A。

我們把這叫作“長度為4的非傳遞性鏈條”，并且如右圖那樣表達這些結果。

這很令人驚訝，但這個表面上的矛盾有一個簡單的解釋：我們錯誤地相信了“骰子X比骰子Y厲害”這個關系是有傳遞性的。一枚骰子有多厲害，不能用單一的參數來衡量，不像跑步運動員那樣可以用速度來比較，也不像汽車那樣可以用售價來比較。一枚骰子有多厲害，取決于每一次對決，依賴于另一枚骰子創造的環境。

骰子擲出的平均結果，也就是所有面的數字總和除以6，本來可成為衡量骰子的唯一參數，然而它不是。實際上，對于之前的骰子A、B、C、D，平均值分別是2.66、3、3.33和3。盡管骰子A的平均值比骰子B要小，卻能在三分之二的情況下打敗骰子B！同樣，骰子B的平均值比骰子C要小，但在兩者的對決中占了上風（在這里，大于號表示前者能贏后者）：

在這里，不論是骰子的平均值還是別的整體參數，都無法完整地衡量骰子有多強。