會翻轉的賭局

之前的骰子確實組成了非傳遞的三枚組合：以7/12的概率戰勝，以7/12的概率戰勝，而以25/36的概率戰勝。這里還沒什么新東西。然而，它產生的一些現象如此不可思議，我也是在自己寫了個程序驗證之后才接受的。如果每次對局每個骰子不是只擲一次而是分別擲兩次，然后將兩次結果加起來的話，那么一切就都反過來了：會以765/1296 =0.5902...的概率戰勝，打敗的概率也是765/1296 =0.5902...，打敗的概率則是671/1296 =0.5177...。這種聞所未聞的性質再次表明，我們有關概率的直覺并不準確。這啟發了另一種“占朋友便宜”的方法，即使像蓋茨那樣聰明，對非傳遞性骰子略有所聞，也一樣有效。

你可以一開始向他展示這些骰子，他會仔細端詳，發現這是個非傳遞性鏈條。于是，如果你肯先選骰子的話，那么他就會愿意打賭。你接受提議，先隨意選一枚骰子。（最好是或者，這樣可以避免那個0.5177...的概率。）他會選擇在非傳遞性鏈條中可以打敗你的那枚骰子。

然后你向他提議賭注加倍，前提是要擲兩次骰子，并比較得到的數字之和（跟之前一樣玩25盤）。他會和所有人一樣，覺得擲兩次只會提高優勢，于是就答應了。但事實上，現在占據優勢的是你，而你會贏得這場賭局（準確概率是82.10%）。真不科學！

為什么非傳遞性鏈條會逆轉過來呢？要理解為什么逆轉會出現，我們來看最簡單的兩枚骰子：和。

只擲一次的話，會贏，因為4能贏3，而在36種情況中，這會出現25次。如果計算兩個面的和，還有的情況的話，那么：

：6+3=9，共10種情況；3+3=6，共25種情況；6+6=12，共1種情況。

：1+1=2，共1種情況；4+4=8，共25種情況；1+4=5，共10種情況。

如果和分別擲兩次的話，那么一共有1296=36×36種可能的情況。只有在擲出一共8點的時候，骰子才有機會贏。在這種情況下，只有擲兩次一共得到6，才真正勝利。于是，在擲兩次的比賽中，骰子在36×36=1296種情況中，只有25×25=625種情況會獲得勝利。這還占不到所有情況的一半，所以擲兩次的話會輸給。逆轉是有可能的，這已經出現在我們眼前了！

我們試試用幾句話來解釋這一點。只擲一次的時候，骰子能勝過，但總而言之它贏得不多，只是用4點打敗3點。于是，當我們考慮骰子兩個面的和（2、8或者5）時，它們比起骰子兩個面的和（9、6或者12）可遜色不少，這也是為什么在比賽擲兩次時，骰子會落敗。

如果每枚骰子不是擲兩次，而是擲三次的話，那么能贏，能贏，而也能贏。這回骰子占盡上風，也不存在非傳遞性鏈條了，選的人總會有優勢。這很奇怪，因為如果我們直接拿三枚骰子同時比賽的話（同時投擲三枚骰子），那么得到的勝率之比是51∶90∶75，最厲害的是！