第1章　同余數概論
（第1～12條）

第1節　同余的數，模，剩余和非剩余

1

假如數b和數c之差能夠被數a整除，則稱b和c對于a同余；反之則稱b和c對于a不同余。我們將數a叫做模。如果b和c同余，則b和c互為對方的剩余，如果不同余，則稱其互為非剩余。

這里的數必須是正整數或者負整數^[1]，而不是分數。例如，-9和16對于模5同余；-7對于模11是15的剩余，但對于模3是15的非剩余。

因為0能被任何數整除，所以對于任何模來說每個數都與其自身同余。

2

給定數a，它對于模m的所有剩余都在式a＋km中，其中k是任意整數。由此可以推導出下文給出的顯而易見的定理，對這些定理做直接證明是很容易的。

從現在起用符號“≡”來表示同余，必要時可以在后面加上圓括號并寫出模；例如，-7≡15（mod 11），-16≡9（mod 5）^[2]。

3

定理

給定m個連續整數a，a＋1，a＋2，…，a＋m-1和另一個整數A；那么對于模m，這些整數中有且僅有一個數與A同余。

如果是整數，則a≡A；如果是正分數，則假定k是最接近它且大于它的正整數（或者如果此分數為負分數，則k是最接近它，且絕對值小于它的絕對值的整數）。這時，A＋km將處于a和a＋m之間，這就是要求的數。顯然，所有的商…，均處于k-1和k＋1之間，所以它們中的整數不可能多于一個。