導讀：高斯——離群索居的王子

上帝創造了整數，其余一切都是人造的。

——利奧波德·克羅內克

數是各類藝術最終的抽象表現。

——瓦西里·康定斯基

歷史上間或出現神童，神童常常出現在數學、音樂、棋藝等方面?？枴じダ椎吕锵！じ咚梗晃粩祵W神童，是各式各樣的天才里最出色的一個。就像獅子號稱萬獸之王，高斯在數學家之林中稱王，他有一個美號——數學王子。高斯不僅被公認為是19世紀最偉大的數學家，并且與阿基米德、牛頓并稱為歷史上三個最偉大的數學家。現在阿基米德和牛頓的名字早已進入了中學的教科書，他們的工作或多或少成為大眾的常識，而高斯和他的數學仍遙不可及，甚至于在大學的基礎課程中也很少出現。但高斯的肖像畫卻赫然印在10馬克——流通最廣泛的德國紙幣^[1]上，直到2002年馬克被歐元取代。

與自然數的“情誼”

1777年4月30日，高斯出生在漢諾威公國（今下薩克森州）的不倫瑞克市郊外（現屬市區）。其時德意志民族遠未統一，除了漢諾威，尚有奧地利、普魯士、巴伐利亞等邦國。在高斯的祖先里，沒有一個人可以說明為什么會產生高斯這樣偉大的天才。他的父親是個普通的勞動者，做過石匠、纖夫、花農。他的母親是他父親的第二任妻子，做過女仆，沒受過什么教育。她甚至忘了高斯的生日，只記得是星期三，耶穌升天節前八天，高斯后來自己把它算了出來。不過母親聰明善良，有幽默感，并且個性很強。她以97歲高壽仙逝，高斯是她的獨養子。

據說高斯在兩歲時就發現了父親賬簿上的一處錯誤。9歲那年，他在公立小學念書，一次，老師為了讓學生們有事可干，讓他們從1到100把這些整數加起來，高斯幾乎立刻就把寫好結果的石板面朝下放在自己的課桌上。當所有的石板都被翻過時，這位老師驚訝地發現只有高斯得出了正確的答案：5050，但是沒有演算過程。事實上，高斯已經在腦子里對這個算術級數求了和，他注意到了1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101，等等，共50對數，從而答案是50×101或5050。高斯在晚年常幽默地宣稱他在會說話之前就會計算，還說他問了大人字母如何發音，就自己學著讀起書來。

高斯的早熟引起了不倫瑞克公爵費迪南的注意，這位公爵的名字也叫卡爾，是個熱心腸且始終如一的贊助人。高斯14歲進卡洛琳學院（現不倫瑞克技術大學），18歲入哥廷根大學。當時的哥廷根大學仍默默無聞，事實上，它才創辦不到60年。有了高斯的到來，這所日后享譽世界的大學才變得重要起來。起初，高斯在做個語言學家抑或數學家之間猶豫不決，他決心獻身數學已是1796年3月30日的事了。當差1個月滿19歲時，高斯對正多邊形的歐幾里得作圖理論（只用圓規和沒有刻度的直尺）做出了驚人的貢獻，他發現了它與費馬素數之間的秘密關系。特別是，他給出了作正十七邊形的方法，這是一個有著兩千多年歷史的數學懸案。

那一年可謂是高斯奇跡年，就在他發現正十七邊形作圖理論9天以后，即4月8日，他發展了同余理論，首次證明了二次互反律，這樣就徹底解決了二次同余方程的可解性判斷問題。5月31日，高斯提出了后人稱為素數定理的猜想，也即不超過x的素數的個數為x/ln x，這個猜想直到100年后才被證明；又過了50余年，用初等方法證明它的兩人之一因此獲得了菲爾茲獎。7月10日，高斯證明了費馬提出的三角形數猜想。10月1日，他發表了有限域里一個多項式方程解數問題的研究，這使得一個半世紀后法國數學家韋伊提出了他的著名猜想。

高斯初出茅廬，就已爐火純青，而且，以后的50年間他一直保持這樣的水準。不過，高斯取得博士學位的學校是在同屬下薩克森州的黑爾姆斯泰特大學，那里不僅離他的故鄉更近，還有一位當時德國最好的數學家普法夫。值得一提的是，這所創辦于1576年的古老大學于1810年并入了哥廷根大學，而普法夫卻去了哈雷大學。高斯所處的時代，正是德國浪漫主義盛行的時代。受時尚的影響，高斯的私函和講述中充滿了美麗的詞藻。高斯說過：“數學是科學的皇后，而數論是數學的女王。”那個時代的人們也開始稱高斯為“數學王子”。事實上，縱觀高斯一生的工作，其中似乎也帶有浪漫主義的色彩。

數論是最古老的數學分支之一，主要研究自然數的性質和相互關系。從古希臘的畢達哥拉斯時代起，人們就沉湎于發現數的神秘關系，優美、簡潔、智慧是這門科學的特點。俄國畫家瓦西里康定斯基甚至認為：“數是各類藝術最終的抽象表現?！本拖衿渌麛祵W神童一樣，高斯首先迷戀上的也是自然數。高斯在1808年談道：“任何一個花過一點功夫研習數論的人，必然會感受到一種特別的激情與狂熱?！爆F代數學最后一個“百事通”希爾伯特是19世紀后期重新崛起的哥廷根數學學派的領軍人物，其傳記作者在談到該大師放下代數不變量理論轉向數論研究時指出：

數學中沒有一個領域能夠像數論那樣，以它的美——一種不可抗拒的力量——吸引著數學家中的精華。

另一方面，我也注意到一些不曾研究過數論的偉大數學家，如帕斯卡爾、笛卡爾、牛頓和萊布尼茲，他們都把后半生的精力奉獻給了哲學或宗教，唯獨費馬、歐拉、拉格朗日、勒讓德、高斯、狄里克雷這幾位對數論有著杰出貢獻的數學家，卻終其一生都不需要任何哲學和宗教?；蛟S，這是因為他們心中已經有了最純粹、最本質的藝術——數論。值得一提的是，對一些優美的數學定理或公式，高斯經常一而再、再而三地給出新的證明，例如被他稱為“皇冠上的寶石”的二次互反律，高斯一共給出了6種證明方法。即便在今天，這個定律仍與中國剩余定理一樣，出現在每一本基礎數論教程中。

這里我想引用印度數學天才拉曼紐揚的故事說明數論學者與自然數的“情誼”。這位來自印度最南端泰米爾納德邦的辦事員具有快速且深刻地看出數的復雜關系的驚人才華。著名的英國數論學家G·H·哈代在1913年“發現”了他，并于次年邀他來劍橋大學。哈代在有一次去探望病中的拉曼紐揚時告訴后者，自己剛才乘坐的出租汽車車號是1729。拉曼紐揚立即回答：“這是一個很有意思的數，1729是可以用兩種方式表示成兩個自然數的立方和的最小的數。”（既等于1的三次方加上12的三次方，又等于9的三次方加上10的三次方。）哈代又問，那么對于四次方來說，這個最小數是多少呢？拉曼扭揚想了想，回答說：“這個數很大，答案是635318657?！保鹊扔?9的四次方加上158的四次方，又等于133的四次方加上134的四次方。）

現代數論的新紀元

1801年，年僅24歲的高斯出版了《算術研究》，從而開創了現代數論研究的新紀元。書中出現了有關正多邊形的作圖，方便的同余記號、二次型理論、類數問題以及優美的二次互反律的首次證明。高斯還把復數引入數論，這即是后人所稱的高斯整數環。除了第7章（最后一章）給出的代數基本定理的首次嚴格證明（他的博士論文結果）以外，其余各章講的都是數論。在這部著作出版以前，數論只有若干零散的定理和猜想，高斯把前人的結果和自己的原創性工作結合起來，使其成為了有機的整體和一門嚴格的數學分支。

值得一提的是，這部偉大的著作在高斯21歲時即已完稿，高斯曾把它寄到法國科學院，卻遭到拒絕，而高斯自己將它出版了（費迪南公爵支付了印刷費）。與高斯的前期論文一樣，它是用拉丁文寫成的，這是當時科學界的世界語，然而由于受19世紀初盛行的國家主義的影響，高斯后來改用德文寫作。此書當年極少有人讀懂，但年長的拉格朗日在巴黎看到后，隨即致函祝賀高斯：“您的《算術研究》已立刻使您成為第一流的數學家。”晚輩同胞、直覺主義先驅克羅內克則贊嘆其為“眾書之王”。在那個世紀的末端，德國數學史家莫里茨康托爾這樣評價道：

《算術研究》是數論的憲章。高斯總是遲遲不肯發表他的著作，這給科學帶來的好處是，他付印的著作在今天仍然像第一次出版時一樣正確和重要。他的出版物就是法典，比人類其他法典更高明，因為不論何時何地從未發覺出其中有任何一處毛病，這就可以理解高斯暮年談到他青年時代第一部巨著時說的話：“《算術研究》是歷史的財富。”他當時的得意心情是頗有道理的。

在《算術研究》出版的第二年，高斯就當選為圣彼得堡（這座城市是18世紀大數學家歐拉鐘愛的第二故鄉）科學院外籍院士，同時，俄羅斯方面也向他提供了教授職位，但這被他婉言謝絕了。4年以后，為了不使德意志失去這位最偉大的天才，包括洪堡在內的多位學者和政要聯名推薦，高斯被破格聘任為哥廷根大學數學教授兼天文臺臺長，全家一起搬入新落成的天文臺，高斯擔任這一職位直到去世。

關于《算術研究》，流傳著這樣一個故事。1849年7月16日，哥廷根大學為高斯獲得博士學位50周年舉行慶祝會，當進行到某一程序時，高斯準備用《算術研究》的一張原稿點煙，當時在場的柏林大學教授狄里克雷像見到瀆圣罪行一樣大吃一驚，他立刻冒失地上前從高斯手中搶下這一頁紙，并將它一生珍藏。狄里克雷的遺著編輯者在他死后從其文稿中找到了這張原稿。

狄里克雷比高斯小27歲，在他上大學那會兒，整個德意志民族只有高斯一個有名望的數學家，而后者卻不怎么喜歡教學。狄里克雷只好遠赴巴黎留學，師從法國數學家傅里葉和泊松。不過狄里克雷始終攜帶著高斯的《算術研究》，可以說，狄里克雷是第一個真正讀懂這本書的人。留學巴黎期間，狄里克雷證明了費馬大定理在指數為5和14時成立。這個結果曾轟動一時，因為指數為3和4的情形分別是由歐拉和費馬本人解決的。狄利克雷后來娶了同胞作曲家門德爾松的妹妹為妻。在高斯去世以后，他被哥廷根聘請繼任了高斯的職位。

與藝術家一樣，高斯希望他留下的都是十全十美的藝術珍品，他認為任何絲毫的改變都將破壞其內部的均衡。他常說：“當一幢建筑物完成時，應該把腳手架拆除干凈?！备咚箤τ趪烂苄缘囊笠卜浅？量?，這使得一個定理從直覺的形式到完整的證明，中間有一段漫長的過程。此外，高斯十分講究邏輯結構，他希望在每一個領域中，都能樹立起一致而普遍的理論，從而將不同的定理聯系起來。鑒于上述原因，高斯很不樂意公開發表他的東西。他的著名警句是：寧肯少些，但要成熟。為此，高斯付出了高昂的代價，包括把非歐幾何學和最小二乘法的發明權與羅巴切夫斯基、鮑耶和勒讓德共享，這就如同費馬把解析幾何和微積分的發明權讓給了笛卡爾、牛頓和萊布尼茲。

說到鮑耶，他是匈牙利歷史上最偉大的數學家，其父親老鮑耶也攻數學，是高斯在哥廷根念書時最要好的朋友。1797年，他曾陪同高斯徒步到不倫瑞克探望高斯雙親。等到高斯走出房間，他的母親迫不及待地詢問鮑耶自己兒子的前途如何。當聽到回答“他是全歐洲最偉大的數學家時”，老人家已經老淚縱橫，那年的高斯才20歲。老鮑耶畢業后回到匈牙利娶妻生子，而在隨后的半個世紀里仍與高斯保持書信往來。當他把兒子發明非歐幾何學的消息和結果告訴老同學時，他并沒有得到足夠的鼓勵和任何幫助。小鮑耶后來郁郁寡歡，晚年專心于文學創作，默默無聞地度過了一生。

從做出有關正多邊形發現的那天起，高斯便開始了著名的數學日記，他以密碼式的文字記載下了許多偉大的數學發現，這種記載共持續了十八年。有意思的是，高斯的這本日記直到1898年才被找到。日記包括一百多條很短的注記，其中有數值計算結果，也有簡單的數學定理，例如，關于正多邊形作圖問題，高斯在日記中含蓄地寫道：

圓的分割定律，如何以幾何方法將圓十七等分。

值得一提的是，這項結果在兩個月后出版的《新知文獻》雜志上就發表出來了，而當時的漢諾威科學并不發達。又如1796年7月10日的記載：

num＝△＋△＋△

這意指“每個自然數均可表為不超過三個三角形數之和”。此處三角形數是指按點排列可以構成正三角形狀的數，例如1，3，6，10，15……這是17世紀法國數學家費馬猜想的一個特例。后者說的猜想是：當n大于2時，每個自然數均可表成不超過n個n角形數之和。高斯還在這條日記旁邊寫上了“Eureka！”即“我發現了！”（這是阿基米德在浴桶里悟出浮體定律時說的話。）就像莫扎特一樣，高斯年輕時候風起云涌的奇思妙想，使得他還來不及做完一件事，而另一件事又出現了。

多才多藝的天才

高斯不僅是數學家，還是那個時代最偉大的物理學家和天文學家之一。在《算術研究》問世的同一年，即1801年的元旦，意大利天文學家皮亞齊在西西里島觀察到在白羊座（Aries）附近有光度8等的星移動，這顆現在被稱作谷神星（Ceres）的小行星質量只有月球的1/50。它在天空出現了41天，在掃過8度角之后，它就在太陽的光芒下沒了蹤影。當時天文學家無法確定這顆新星是彗星還是行星，這個問題很快成了學術界關注的焦點，甚至成了哲學問題。

比高斯年長7歲的哲學家黑格爾那時正任教于離哥廷根不遠的耶拿大學，此時的黑格爾還只是個無薪講師。他寫文章嘲諷天文學家——不必那么熱衷去找尋第8顆行星，黑格爾認為用他的邏輯方法可以證明太陽系的行星不多不少正好是7顆。而幾個月過去了，這場爭論仍未見分曉。年輕的高斯也對此產生了興趣，他想：既然天文學家通過觀察找不到谷神星，那么可否利用數學方法找到它呢？高斯相信，天文學是離不開數學的，開普勒正是憑借著自己的數學才能，發現了行星運動三大定律；牛頓也是憑著淵博的數學知識，發現了萬有引力定律。

果然，在歐拉工作的基礎上，高斯用自己發明的最小二乘法簡易地計算出了行星軌道。他根據皮亞齊的觀測資料，只用一個小時便算出了谷神星的軌道形狀，并預測了它的下一次出現。不管黑格爾有多么不高興，那年的最后一個夜晚和次年的第一個夜晚，兩位天文愛好者在德國的兩座城市把望遠鏡對準天空。不出所料，這顆最早被發現的、迄今仍是同類中最大者的小行星準時出現在了高斯指定的位置，這應是高斯后來得以出任哥廷根天文臺臺長的重要原因。

高斯在物理學方面最引人注目的成就，是其在1833年和物理學家韋伯一同發明了有線電報。只比狄利克雷年長1歲的韋伯在洪堡召開的一次學術會議上做了一個報告，臺下的高斯聽后對其十分欣賞，隨后不久便將其引薦延聘到哥廷根。由于各自擅長理論和實踐，加上韋伯性格溫和謙讓，兩人可謂是黃金搭檔，他們開始了愉快而卓有成效的合作。次年，高斯在給鮑耶的信中情意深切地提到“我的生活因為他的出現而變得更加精彩，他的性格非常親切，他還富有天賦”。不過4年后，哥廷根發生了反對廢除自由憲法的“七君子事件”，韋伯與6位文科教授（包括高斯的女婿和童話作家格林兄弟）失去了教職。在這場政治較量中，高斯作為哥廷根最有威望的教授并沒有挺身而出，而是選擇了明哲保身。韋伯被迫去萊比錫任教（格林兄弟到了卡塞爾），直到12年后才重返哥廷根，接替高斯擔任天文臺臺長，但沒有再擔任教職。

高斯和韋伯的電報術利用了丹麥人奧斯特的電磁轉向與電流方向垂直原理（1820年）和英國人法拉第的電磁感應原理（1831年）。這項發明使得高斯的聲望首次超出學術圈進入公眾，但他們的商業意識不太強。他們一直自己使用著那臺電報機，直至其1845年被一次閃電打壞。而其時，電報產業早已如火如荼地在英國和美國發展起來了。有趣的是，作為一名科學家，高斯是韋伯的恩師；而作為磁場感應的單位，就1平方米的面積而言，1高斯在數值上只有10－4韋伯。

對于天文臺臺長高斯來說，望遠鏡是不可或缺的工具，除了望遠鏡用來觀察天空外，高斯還用自制望遠鏡推動了光學研究。1843年，高斯的光學巨著《光折射研究》出版，書中首次提出了光的焦距、焦面和焦點等概念。他利用幾何學的方法，證明了不論透鏡有多厚，光的折射均可以用薄透鏡或單折射面的簡單公式來研究推導。而在此以前，歐拉、拉格朗日和莫比烏斯都只考慮薄透鏡的折射，但實際面臨的應用問題并非如此。

在流體靜力學方面，高斯寫過一篇重要論文《關于力學的一個新的普遍原理》（1829年），其中提出了后人所稱的高斯最少約束原理：任何一組相互影響并受外界影響的質點，在任何時刻其運動的方式必盡可能地接近自由運動，也就是最少約束運動（此處的約束是以每個質點離開自由運動軌跡的距離的平方乘上質量后，對所有質點求和來決定的）。高斯曾感嘆說：“自然對于一個物理運動方式的修正，與數學家對他的觀察數據修正一樣，都是采用最小二乘法進行的?！?/p>

除此以外，高斯在測地學、水工學、電動學等方面也有杰出的貢獻。即使是數學領域，我們談到的也只是他年輕時在數論領域里所做的部分工作，在其漫長的一生中，高斯幾乎在數學的每個領域都有開創性的工作。前文提及的最小二乘法便是一種數學優化技巧（通過平面上的一組坐標值來確定一條直線的方程），這是高斯當年用以找尋谷神星的數學工具，后來被他寫進了著作《天體運動論》（1809年）。最小二乘法如今在測繪學中有著廣泛的應用，不過因為法國數學家勒讓德曾獨立發現并發表在先（1806年），兩人有過不太愉快的優先權之爭。1829年，高斯還給出了最小二乘法的優化效果強于其他方法的證明。

在橢圓函數（橢圓函數是一種雙周期的亞純函數，最初是從求橢圓弧長時導出的，這直到今天仍是數學的研究熱點）方面，在高斯發表了《曲面論上的一般研究》之后大約一個世紀，愛因斯坦評論說：“高斯對于近代物理學的發展，尤其是對于相對論的數學基礎所做的貢獻（指曲面論），其重要性是超越一切，無與倫比的?！倍咚箤E圓函數的先驅性發現和非歐幾何學方面的劃時代工作，都沒有在生前發表。正是高斯在《算術研究》里對這片未經開采的處女地的暗示，引導后來的阿貝爾和雅可比開展了一場著名的數學競賽。

在堪稱現代數學史上最偉大發現的非歐幾何方面，高斯是對“歐氏幾何是自然界和人類思想的固有性質”的最早的懷疑者之一（擁護者中有牛頓和康德）。建立系統性幾何學的第一人——歐幾里得，其著作中的部分思想被稱為公理（通過邏輯構建整個系統的出發點）。在這些公理中，平行公理顯得尤為突出。依照這條公理，通過給定直線外的任意一個點只能作一條直線與該直線平行。許多人試圖從其他公理推出這一公理，但沒有一個證明是正確的。而高斯是最早意識到可能存在平行公理不適用的幾何學的人之一，后來他自己證實了這一點，并且，其新的幾何學內部是相容的。

1830年前后，當俄國的羅巴切夫斯基和鮑耶已先后發表他們的非歐幾何學時，高斯才宣稱他早在30年前就得出了同樣的結果。事實上，在1799年9月的一則日記里，高斯這樣記載，“在幾何基礎的問題上，我們得到了很好的結果。”同年底，他在給老鮑耶的信中寫道：“面積任意大的三角形的存在性與歐氏平行公理是等價的。而在非歐幾何學里，所有三角形的面積都不能超過一個界限?！?824年，高斯在給一位業余數學家的信中寫道：“由三角形內角和小于180度的假設中可以導出一種奇異的幾何，這種幾何與歐氏幾何大不相同，但其本質卻是相合的。”對此，老鮑耶十分理解，他說：“很多事物仿佛都有那么一個時期，屆時，它們在許多地方同時被人們發現了，正如在春季看到紫羅蘭處處開放一樣?！?/p>

離群索居的王子

在高斯的時代，幾乎沒有什么人能夠分享他的想法或向他提供新的觀念。每當他發現新的理論時，卻找不到人可以討論。這種孤獨的感覺經年累月積存下來，造就了他高高在上、冷若冰霜的心境。這種智慧上的孤獨，在歷史上只有很少幾個偉人感受過。高斯從不參加公開爭論，他對辯論一向深惡痛絕，認為那很容易演變成愚蠢的喊叫，這或許是他從小對粗暴專制的父親的一種心理上的反抗。高斯成名后很少離開哥廷根，只在1828年去柏林（普魯士王國首都）參加過一次學術會議（發現韋伯那次）。

高斯甚至厭惡教學，也不熱衷于培養和發現年輕人，自然就談不上創立什么學派。這主要是由于高斯天賦之優異，因而在心靈上離群索居。不過，這不等于說高斯沒有出類拔萃的學生，他所教授過的黎曼堪稱史上最偉大的數學家之一（在就讀于哥廷根時期，黎曼有兩年曾到柏林師從于雅可比和狄里克雷），戴特金和艾森斯坦也對數學做出了杰出貢獻。而由于高斯的登峰造極，這三個人中也只有黎曼（在狄利克雷死后繼承了高斯的數學教授職位）被認為和高斯比較親近。黎曼雖說生前只發表了10篇論文，他卻是復變函數論、解析數論、幾何學、常微分方程、實分析、數學物理和物理學等領域的開拓者。而黎曼猜想則已成為數學史上的不朽謎語，被公認為是最偉大的數學猜想。韋伯記得晚年的高斯談起黎曼的工作時十分激動，并對其給予了罕見的高度贊揚。高斯也曾對年長黎曼3歲的艾森斯坦寄予厚望，如果他不是在29歲英年早逝，就很可能成為黎曼的強有力的競爭者。

比高斯晚一輩的大數學家雅可比和阿貝爾都曾抱怨高斯對他們成就的漠視。雅可比比狄利克雷大一個多月，他們兩人都是柏林最頂尖的數學家，也都在數論領域做出過重要貢獻。雅可比用自守形式的方法給出了費馬四角形數（平方數）猜想的一個漂亮證明；而狄利克雷在柏林任職期間證明了算術級數上存在無窮多個素數，把兩千多年前歐幾里得的結果做了推廣。而這樣的雅可比卻一直沒能與高斯結成親密的友情，在1849年哥廷根那次慶祝會上，遠道而來的雅可比坐在高斯身旁的榮譽席上。不過當他想找話題談數學時，高斯未予理睬。這可能是時機不對，當時的高斯幾杯甜酒下肚，有點不能自制，即使換個場合，結果恐怕也是一樣。在給他兄弟論及那場宴會的一封信中，雅可比寫道：“你要知道，在這20年里，他（高斯）從未提及我和狄利克雷……”一年以后，雅可比因患天花去世，年僅47歲。相比之下，狄利克雷做上布雷斯勞大學教授（隸屬普魯士，今波蘭弗羅茨瓦夫大學）卻是高斯（還有洪堡）寫的推薦信。需要提及的是，狄利克雷雖然數學天賦優異，但因為拉丁文不及格，未能獲得巴黎大學的博士學位?；貒院?，他向波恩大學提交的申請同樣沒有成功，不過獲得了榮譽博士學位。

阿貝爾的命途多舛，他與后來的同胞易卜生、格里格、蒙克和阿蒙森一樣，是最早在自己領域里取得世界性成就的挪威人。他是一個偉大的天才，卻過著貧窮的生活，同時代人對其毫無了解。阿貝爾在20歲時解決了數學史上的一大問題，即證明了用根式解一般五次方程的不可能性，他將短短6頁“不可解”的證明寄給歐洲一些著名的數學家，而高斯自然也收到了一份。阿貝爾在引言中滿懷信心，以為數學家們會親切地接受這篇論文。不久，這位鄉村牧師的兒子阿貝爾獲得政府的資助，開始了他一生唯一的一次遠足，當時的他想以這篇文章作為敲門磚。阿貝爾此行最大的愿望就是拜訪高斯，但高斯高不可攀，只是將論文瞄了幾行，便把它丟在了一旁，仍然專注于自己的研究工作。阿貝爾只得在從巴黎去往柏林的旅途中，帶著漸增的痛苦繞過哥廷根。26歲那年，阿貝爾死于肺病和營養不良。他去世后的第三天，一封信件姍姍來遲，而在這封信里，柏林大學向他提供了一個教職。

高斯雖然孤傲，但令人驚奇的是，他春風得意地度過了中產階級的一生（高斯22歲獲博士學位，25歲當選圣彼得堡科學院外籍院士，30歲任哥廷根大學數學教授兼天文臺臺長），沒有遭受到冷酷現實的打擊——這種打擊時常無情地加諸于每個脫離現實環境而生活的人。這或許是因為高斯講求實效和追求完美的性格有助于讓他抓住生活中的簡單現實。雖說高斯不喜歡榮耀浮華，但在他成名后的50年間，榮耀浮華就像雨點似的落在了他身上，幾乎整個歐洲都卷入了這場授獎的風潮，他一生共獲得75種形形色色的榮譽，包括在1818年被英王喬治三世^[2]賜封為“參議員”，又在1845年被賜封為“首席參議員”。

高斯有過兩次婚姻，第一個妻子死于難產后，不到10個月，高斯又娶了第二個妻子。高斯始終沒有忘記費迪南公爵的恩情，他一直對他的贊助人在1806年慘死于拿破侖手下這件事耿耿于懷，因而拒不接受法國大革命的信條和由此引發的民主思潮的影響，他的學生都稱他為保守派。從這點來看，高斯可以說是貴族專制社會體系中最后的也是最偉大的文化結晶。

高斯很喜歡文學，他把歌德的作品遍覽無遺，卻不怎么推崇。由于與生俱來的語言特長，高斯閱讀外文得心應手。他精通英語、法語、俄語、丹麥語，對意大利語、西班牙語和瑞典語也略知一二，他的私人日記是用拉丁文寫的。高斯在50歲時又開始學習俄語，部分原因是為了閱讀年輕詩人普希金的原作。不過高斯的語言天賦在數學家中并不算最突出的，使愛爾蘭人在數學領域享有盛譽的神童哈密爾頓在13歲時就能夠流利地講13種外語。高斯還愛看蒙田、盧梭等人的作品，卻不怎么喜歡莎士比亞的悲劇，不過他選擇了《李爾王》中的兩行詩作為自己的座右銘：

大自然啊，我的女神，
我愿為你獻身，終生不渝。

高斯最欽佩的英語作家是蘇格蘭人司各特，他幾乎閱讀了后者所有的作品。有一次，高斯在司各特爵士有關自然景觀的描述中找到了一個錯誤（滿月是從西北方向升起來的）而狂喜不已。他不僅在自己那本書上把它糾正過來，還跑到哥廷根書店把其他未售出的書都改了。

和所有偉大的數學家一樣，抽象符號對高斯來說并非虛幻而不真實的。有一次他談道：“靈魂的滿足是一種更高的境界，物質的滿足是多余的。至于我把數學應用到幾塊泥巴組成的星球，或應用到純粹數學的問題上，這一點并不重要。但后者常常帶給我更大的滿足?！备咚沟纳眢w一直不錯，但他的第二任妻子早他24年便已離世。在晚年受到病魔襲擊之前，高斯一直沒有在宗教或精神上花時間。心臟病不斷摧毀著他的意志，1848年，高斯寫信給他最親密的朋友說：

我經歷的生活，雖然像一條彩帶飛舞過整個世界，但也有其痛苦的一面。這種感受到了年邁的時候更是不能自持。我樂于承認，如果換一個人來過我的生活的話，也許會快樂得多。另一方面，這更使我體會到生命的空虛，每一個接近生命盡頭的人，都一定會有這種感覺……

高斯還說過：“有些問題，如果能解答的話，我認為比解答數學問題更有超然的價值，比如有關人類和神的關系，我們的歸宿，我們的將來，等等。這些問題的解答，遠超出我們能力之所及，也非在科學的范圍內能夠做到的。”

高斯曾被形容為“能從九霄云外的高度按照某種觀點掌握星空和深奧數學的天才”。他將自己的數種天賦——有創造力的直覺、卓越的計算能力、嚴密的邏輯推理、十全十美的實驗——和諧地組合在了一起，這種能力的組合使得高斯出類拔萃，在人類歷史上幾無對手。通常，只有多才多藝的阿基米德和牛頓能與他相提并論（最多加上歐拉）。當然，愛因斯坦也屬于同一水準，但愛因斯坦有所局限，因為他所依賴的數學工具不是自己創造的；另外，愛因斯坦也不是實驗家，他的理論需要別的科學家檢驗。

1855年2月23日清晨，高斯在睡夢中平靜地與世長辭，享年77歲。他曾經要求在他的墓碑上刻一個正十七邊形，但事與愿違，因為雕刻工堅持認為正十七邊形刻出來后幾乎與圓一模一樣。作為一種彌補，人們在其故鄉不倫瑞克的高斯紀念碑的基座上，刻下了一顆有17個尖角的星。

浙江大學數學系教授、博士生導師　蔡天新
2012年5月

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[1] 原德國馬克紙幣共8種，從5馬克到1000馬克。10馬克紙幣的反面是統計學里的正態（高斯）分布曲線。除了他和一位諾貝爾生理學醫學獎得主以外，另外幾位分別是詩人、作家、音樂家、畫家和建筑師，包括童話作家格林兄弟和鋼琴家克拉克·舒曼。

[2] 喬治三世在位時（1760—1820年），哥廷根隸屬三個國家：大英帝國、愛爾蘭和漢諾威公國。哥廷根大學是由英王喬治二世（1727—1760年間在位）于1737年所建。