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第1章 同余數(shù)概論
(第1~12條)

第1節(jié) 同余的數(shù),模,剩余和非剩余

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假如數(shù)b和數(shù)c之差能夠被數(shù)a整除,則稱bc對于a同余;反之則稱bc對于a不同余。我們將數(shù)a叫做。如果bc同余,則bc互為對方的剩余,如果不同余,則稱其互為非剩余

這里的數(shù)必須是正整數(shù)或者負(fù)整數(shù)[1],而不是分?jǐn)?shù)。例如,-9和16對于模5同余;-7對于模11是15的剩余,但對于模3是15的非剩余。

因?yàn)?能被任何數(shù)整除,所以對于任何模來說每個(gè)數(shù)都與其自身同余。

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給定數(shù)a,它對于模m的所有剩余都在式akm中,其中k是任意整數(shù)。由此可以推導(dǎo)出下文給出的顯而易見的定理,對這些定理做直接證明是很容易的。

從現(xiàn)在起用符號“≡”來表示同余,必要時(shí)可以在后面加上圓括號并寫出模;例如,-7≡15(mod 11),-16≡9(mod 5)[2]

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定理

給定m個(gè)連續(xù)整數(shù)aa+1,a+2,…,am-1和另一個(gè)整數(shù)A;那么對于模m,這些整數(shù)中有且僅有一個(gè)數(shù)與A同余。

如果是整數(shù),則aA;如果是正分?jǐn)?shù),則假定k是最接近它且大于它的正整數(shù)(或者如果此分?jǐn)?shù)為負(fù)分?jǐn)?shù),則k是最接近它,且絕對值小于它的絕對值的整數(shù))。這時(shí),Akm將處于aam之間,這就是要求的數(shù)。顯然,所有的商…,均處于k-1和k+1之間,所以它們中的整數(shù)不可能多于一個(gè)。

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