- 文化偉人代表作圖釋書系:算術(shù)研究
- (德)卡爾·弗里德里希·高斯
- 507字
- 2020-08-05 15:51:46
第1章 同余數(shù)概論
(第1~12條)
第1節(jié) 同余的數(shù),模,剩余和非剩余
1
假如數(shù)b和數(shù)c之差能夠被數(shù)a整除,則稱b和c對于a同余;反之則稱b和c對于a不同余。我們將數(shù)a叫做模。如果b和c同余,則b和c互為對方的剩余,如果不同余,則稱其互為非剩余。
這里的數(shù)必須是正整數(shù)或者負(fù)整數(shù)[1],而不是分?jǐn)?shù)。例如,-9和16對于模5同余;-7對于模11是15的剩余,但對于模3是15的非剩余。
因?yàn)?能被任何數(shù)整除,所以對于任何模來說每個(gè)數(shù)都與其自身同余。
2
給定數(shù)a,它對于模m的所有剩余都在式a+km中,其中k是任意整數(shù)。由此可以推導(dǎo)出下文給出的顯而易見的定理,對這些定理做直接證明是很容易的。
從現(xiàn)在起用符號“≡”來表示同余,必要時(shí)可以在后面加上圓括號并寫出模;例如,-7≡15(mod 11),-16≡9(mod 5)[2]。
3
定理
給定m個(gè)連續(xù)整數(shù)a,a+1,a+2,…,a+m-1和另一個(gè)整數(shù)A;那么對于模m,這些整數(shù)中有且僅有一個(gè)數(shù)與A同余。
如果是整數(shù),則a≡A;如果
是正分?jǐn)?shù),則假定k是最接近它且大于它的正整數(shù)(或者如果此分?jǐn)?shù)為負(fù)分?jǐn)?shù),則k是最接近它,且絕對值小于它的絕對值的整數(shù))。這時(shí),A+km將處于a和a+m之間,這就是要求的數(shù)。顯然,所有的商
…,均處于k-1和k+1之間,所以它們中的整數(shù)不可能多于一個(gè)。
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