第4節　一些應用

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算術論著中很多常用結論都基于本部分探討的定理。例如，判定給定的數是否可以被9，11或任何其他數整除的法則。對于模9，所有10的冪都和1同余；因此如果一個數形如a＋10b＋100c＋…，則對于模9，它和數a＋b＋c＋…有相同的最小剩余。因此，如果把一個數用十進位表示法表示，再把每個位置的數字相加，而不考慮它們的數值，它們的和與這個數有相同的最小剩余；因此如果前者可以被9整除，那么后者就能被9整除，反之亦然。對于除數3也是如此。而且，因為相對于模11，100≡1，總有102k≡1，102k＋1≡10≡-1，一個形如a＋10b＋100c＋…的數與a-b＋c…對于模11有相同的最小剩余。由此可以立刻推導出著名的法則。我們可以容易地推導出所有類似的法則。

從上述論證里還可以發現支配著算術運算驗算法則的原理。具體說來，就是如果某數是由幾個數通過加、減、乘或冪運算所得到的，那么用這幾個數對于任意模（通常使用9或11，因為在十進制系統中容易找到剩余，正如剛才看到的那樣）的最小剩余代替它們，并做相同的運算。如果得到的結果與該數同余，則運算正確，否則運算有誤。

既然這些結論和類似結論都已為大家熟知，在此便不做贅述。

[1] 顯然，模必須取絕對值，即無正負符號。

[2] 采用這個符號是因為相等和同余之間非常相似。勒讓德因為這個原因，在他的著作中（后面會經常引述此著作）同余和相等使用了同樣的符號。為了避免混淆，我們對同余和相等的符號做了區分。

[3] 高斯為《算術研究》設計了8個部分，并且已經基本上寫好了處理高階同余的第8部分。但是，他決定只發表7個部分以節約出版費用。見作者序。