第3節　關于同余的基本定理

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建立起這些概念以后，我們來整理一下關于同余的一些比較明顯的性質。

對合數模同余的兩個數，一定對這個模的每個除數也同余。

如果若干個數對于同一個模都有相同的剩余，那么，它們彼此都同余（對于同一個模）。

在下面這些定理中，我們也假定模都是相同的。

同余的數有相同的最小剩余；不同余的數有不同的最小剩余。

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給定數A，B，C，…，以及數a，b，c，…，如果數a，b，c，…對于同樣的模與數A，B，C，…同余，即A≡a，B≡b，C≡c，等等，那么，A＋B＋C＋…≡a＋b＋c＋…。

如果A≡a，B≡b，那么A-B≡a-b。

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如果A≡a，那么kA≡ka。

如果k是正數，那么條目7只是條目6的特殊情況，使A＝B＝C＝…，a＝b＝c＝…。如果k為負，則-k為正。因此，-kA≡-ka，因而kA≡ka。

如果A≡a，B≡b，則AB≡ab，因為AB≡Ab≡ba。

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給定任意數A，B，C，…，以及數a，b，c，…，若數a，b，c，…與數A，B，C，…對于同樣的模同余，即A≡a，B≡b，…則這兩組數的乘積也同余，即ABC…≡abc…。

從條目7知AB≡ab，同理ABC≡abc，并可以推廣到任意多個因數。

若所有數A，B，C，…都相等，且所有數a，b，c，…都相等，可得定理：若A≡a且k是正整數，則Ak≡ak。

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設X是不確定數x的形如Axa＋Bxb＋Cxc＋…的代數函數，其中A，B，C，…都是任意整數；a，b，c，…都是非負整數。那么，如果x的取值關于某個模同余，則對應的X的值也對于這個模同余。

令x取值f，g且f≡g，從定理7知fa≡ga且Afa≡Aga，同理Bfb≡Bgb，…。因此：Afa＋Bfb＋Cfc＋…≡Aga＋Bgb＋Cgc＋…，證訖。

本定理可以推廣到含多個不確定數的函數，這很好理解。

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因此，如果用連續的全部整數替換x，函數X的對應值就成為最小剩余，并構成一組序列。其中，間隔m（m是模）個項后，重復的項會出現，即此序列是以m個項為周期并無限重復。例如，令X＝x3-8x＋6且m＝5，那么，對于x＝0，1，2，3，4，…，X的值關于模5有這些最小正剩余：1，4，3，4，3，1，4，…，其中前5個數1，4，3，4，3是無限重復的。反過來，如果給x依次賦予負值，序列的周期相同，但項的順序相反。可知，整個序列不會出現這個周期之外的其他項。

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在上例中，X不能與0或者2關于模5同余，X更不能等于0或者2。因此等式x3-8x＋6＝0和x3-8x＋4＝0都沒有整數解，也沒有有理數解。更普遍地，如果X是不確定數x的函數，形式為：xn＋Axn-1＋Bxn-2＋…＋N，其中A，B，C，…是整數，n為正整數（眾所周知，所有代數方程都可以簡化為這個形式）。顯然，如果對于某個模同余關系X≡0不能成立，則方程X＝0沒有有理根。第8部分^[3]將對此判別法進行充分探討。但從這個例子可以看到這些研究的實用性。