第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)

第一節(jié) 集合與函數(shù)

［課前導(dǎo)讀］

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，我們學(xué)習(xí)了集合和函數(shù)的概念．本節(jié)在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步介紹函數(shù)的定義域、表達(dá)式、分類及其性質(zhì)，同時(shí)給出初等函數(shù)的概念．

集合：具有某種確定性質(zhì)的對(duì)象的全體稱為集合（簡(jiǎn)稱集），組成集合的個(gè)別對(duì)象稱為集合的元素．習(xí)慣上，用大寫英文字母A，B，C，…表示集合，用小寫英文字母a，b，c，…表示集合的元素．a∈A表示a是集A的元素（讀作a屬于A），a?A表示a不是集A的元素（讀作a不屬于A）．集合按照元素的個(gè)數(shù)分為有限集和無限集，不含任何元素的集合稱為空集，記為?．

函數(shù)：設(shè)x和y是兩個(gè)變量，D是一個(gè)非空數(shù)集．如果按照某個(gè)法則f，對(duì)每個(gè)數(shù)x∈D，變量y總有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，則稱此對(duì)應(yīng)法則f為定義在D上的函數(shù)，與x對(duì)應(yīng)的值y稱為f在x處的函數(shù)值，記作f（x），即y=f（x）．變量x稱為自變量，y稱為因變量．?dāng)?shù)集D稱為定義域，W={y|y=f（x），x∈D}稱為函數(shù)的值域．

一、集合的概念

設(shè)A，B是兩個(gè)集合，若A的每個(gè)元素都是B的元素（見圖1-1），則稱A是B的子集，記作A?B（或B?A），讀作“A包含于B”（或“B包含A”）；若A?B且B?A，則稱A與B相等，記作A=B；對(duì)于任何集合A，規(guī)定??A．

在本書中，我們把自然數(shù)的全體組成的集合稱為自然數(shù)集，記作N．由整數(shù)的全體構(gòu)成的集合稱為整數(shù)集，記為Z．用Q表示全體有理數(shù)構(gòu)成的有理數(shù)集，R表示全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的實(shí)數(shù)集．顯然有N?Z?Q?R．

一般地，如果是正整數(shù)集，則記為Z+，負(fù)整數(shù)集記為Z-，以此類推．

注　在本書中所討論的數(shù)集除特別說明外均為實(shí)數(shù)集．

1. 集合及其運(yùn)算

集合的基本運(yùn)算有四種：交、并、差、補(bǔ)．

設(shè)A，B是兩個(gè)集合．

由同時(shí)包含于A與B的元素構(gòu)成的集合（見圖1-2），稱為A與B的交集（簡(jiǎn)稱交），記作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}；

由包含于A或包含于B的所有元素構(gòu)成的集合（見圖1-3），稱為A與B的并集（簡(jiǎn)稱并），記作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}；

由包含于A但不包含于B的元素構(gòu)成的集合（見圖1-4），稱為A與B的差集（簡(jiǎn)稱差），記作A＼B，即A＼B={x|x∈A且x?B}；

特別地，若我們所討論的問題在某個(gè)集合（稱為基本集或全集，一般記為U）中進(jìn)行，集合A是U的子集（見圖1-5），此時(shí)稱U＼A為A的余集（或補(bǔ)集），記作CUA或AC．

關(guān)于集合的余集，我們有如下性質(zhì)．

性質(zhì)1（對(duì)偶性質(zhì)）　設(shè)U是一個(gè)基本集，A，B是它的兩個(gè)子集，則

（1）（A∪B）C=AC∩BC；

（2）（A∩B）C=AC∪BC．

除了集合的四種基本運(yùn)算，我們還可以定義兩個(gè)集合的乘積．

設(shè)A，B是兩個(gè)非空的集合，則由有序數(shù)對(duì)（x，y）組成的集合

A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}

稱為A與B的直積．

例如，設(shè)A={x｜0≤x≤1}，B={y｜0≤y≤2}，則A×B={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤2}，如圖1-6所示．

R×R={（x，y）|x，y∈R}即為xOy面上全體點(diǎn)的集合，R×R常記作R2

2. 區(qū)間

區(qū)間是高等數(shù)學(xué)課程中用得較多的一類數(shù)集．設(shè)a和b都是實(shí)數(shù)，且a<b，數(shù)集{x|a<x<b}稱為開區(qū)間，記作（a，b）（見圖1-7），即

（a，b）={x|a<x<b}．

a和b稱為開區(qū)間（a，b）的端點(diǎn)，其中a為左端點(diǎn)，b為右端點(diǎn)，且a?（a，b），b?（a，b）．

類似地，數(shù)集{x|a≤x≤b}稱為閉區(qū)間，記作［a，b］（見圖1-8），即

［a，b］={x|a≤x≤b}．

a和b也稱為閉區(qū)間［a，b］的端點(diǎn)，且a∈［a，b］，b∈［a，b］．

數(shù)集{x|a≤x<b}及{x|a<x≤b}稱為半開區(qū)間，分別記作［a，b）和（a，b］（見圖1-9和圖1-10）．

以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間，數(shù)b-a稱為這些區(qū)間的長(zhǎng)度．從數(shù)軸上看，這些區(qū)間是長(zhǎng)度為有限的線段．

此外，對(duì)于這樣的集合：{x|x≥a}，{x|x>a}，{x|x≤b}，{x|x<b}，我們引進(jìn)記號(hào)+∞（讀作正無窮大）及-∞（讀作負(fù)無窮大），則可用類似于有限區(qū)間的記號(hào)來表示無限的半開區(qū)間或開區(qū)間：

［a，+∞）={x|x≥a}，

（a，+∞）={x|x>a}，

（-∞，b］={x|x≤b}，

（-∞，b）={x|x<b}．

這些區(qū)間在數(shù)軸上表示長(zhǎng)度無限的半直線，如圖1-11～圖1-14所示．

全體實(shí)數(shù)的集合R也記作（-∞，+∞），它也是無限的開區(qū)間．

以后如果不需要辯明所討論的區(qū)間是開區(qū)間還是閉區(qū)間，是有限區(qū)間還是無限區(qū)間，我們就簡(jiǎn)單地稱其為區(qū)間，用 “I”代表各種類型的區(qū)間．

3. 鄰域

設(shè)a與δ為兩個(gè)實(shí)數(shù)，且δ>0，數(shù)集{x｜|x-a|<δ}稱為點(diǎn)a的δ鄰域，記作U（a，δ），即

U（a，δ）={x｜|x-a|<δ}，

其中a稱作U（a，δ）的中心，δ稱作U（a，δ）的半徑．

在數(shù)軸上，|x-a|表示點(diǎn)x與點(diǎn)a的距離，因此點(diǎn)a的δ鄰域U（a，δ）={x｜|x-a|<δ}在數(shù)軸上就表示與點(diǎn)a的距離小于δ的點(diǎn)x的全體．由于|x-a|<δ等價(jià)于-δ<x-a<δ，即a-δ<x<a+δ，所以

U（a，δ）={x|a-δ<x<a+δ}．

因此，U（a，δ）也就是開區(qū)間（a-δ，a+δ）（見圖1-15）．顯然，這個(gè)開區(qū)間以點(diǎn)a為中心，長(zhǎng)度為2δ．

有時(shí)用到的鄰域需要將鄰域中心去掉（見圖1-16），點(diǎn)a的δ鄰域去掉中心a后，稱為點(diǎn)a的去心δ鄰域，記作，即

這里，0<|x-a|就表示x≠a．

為了方便，有時(shí)將開區(qū)間（a-δ，a）稱為a的左鄰域，而將開區(qū)間（a，a+δ）稱為a的右鄰域．

如果不強(qiáng)調(diào)半徑，以點(diǎn)a為中心的任何開區(qū)間稱為點(diǎn)a的鄰域，記作U（a）．

二、常用函數(shù)

1. 基本初等函數(shù)

中學(xué)時(shí)我們已經(jīng)學(xué)過的許多函數(shù)，比如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)等，統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)．這些函數(shù)在高等數(shù)學(xué)課程中也將大量出現(xiàn)，我們?cè)谶@里復(fù)習(xí)一下中學(xué)學(xué)過的相關(guān)知識(shí)，便于我們開始高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)．

（1）冪函數(shù)：y=xα（α是常數(shù)）

當(dāng)α∈Z+時(shí)，y=xα的定義域是R；當(dāng)α∈Z-時(shí)，y=xα的定義域是R＼{0}（見圖1-17）．

當(dāng)的定義域是［0，+∞）；當(dāng)的定義域是（0，+∞）．冪函數(shù)的最小定義域是（0，+∞）．

（2）指數(shù)函數(shù)：y=ax（a>0，a≠1）

如圖1-18、圖1-19所示，由于對(duì)任意x，ax>0，且a0=1，故指數(shù)函數(shù)的圖像在x軸的上方，且通過點(diǎn)（0，1）．

當(dāng)a>1時(shí)，y=ax是單調(diào)增加函數(shù)；當(dāng)0<a<1時(shí)，y=ax是單調(diào)減少函數(shù)．

以e=2.718 281 8…為底的指數(shù)函數(shù)記為y=ex，在工程技術(shù)上經(jīng)常用到這個(gè)指數(shù)函數(shù)．

（3）對(duì)數(shù)函數(shù)：y=logax（a>0，a≠1）

對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a>0，a≠1）的定義域是（0，+∞），其圖像位于y軸的右方且通過點(diǎn)（1，0）．當(dāng)a>1時(shí)，y=logax是單調(diào)增加函數(shù)（見圖1-20）；當(dāng)0<a<1時(shí)，y=logax是單調(diào)減少函數(shù)（見圖1-21）．當(dāng)a=e時(shí)的對(duì)數(shù)函數(shù)記為y=lnx，稱為自然對(duì)數(shù)函數(shù)．

對(duì)數(shù)具有以下運(yùn)算性質(zhì)：對(duì)任意的x，y∈R+，a>0，a≠1，b∈R，

（ⅰ）logax+logay=logaxy；

（ⅱ）；

（ⅲ）logaxb=blogax．

y=logax和y=ax互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，且有．進(jìn)一步，我們?cè)谝院蟮挠?jì)算中經(jīng)常會(huì)用到

（4）三角函數(shù)

正弦函數(shù)y=sinx，余弦函數(shù)y=cosx，正切函數(shù)y=tanx，余切函數(shù)y=cotx，正割函數(shù)y=secx和余割函數(shù)y=cscx統(tǒng)稱為三角函數(shù)．

y=sinx的定義域是R，值域是［-1，1］，最小正周期是2π，它是奇函數(shù)（見圖1-22）；

y=cosx的定義域是R，值域是［-1，1］，最小正周期是2π，它是偶函數(shù)（見圖1-23）；

y=tanx的定義域是，值域是（-∞，+∞），最小正周期是π，在定義域上是奇函數(shù)（見圖1-24）；

y=cotx的定義域是{x|x≠kπ，k=0，±1，±2，…}，值域是（-∞，+∞），最小正周期是π，它是奇函數(shù)（見圖1-25）；

正割、余割函數(shù)與余弦、正弦函數(shù)的關(guān)系式為

（5）反三角函數(shù)

定義1　在區(qū)間上的正弦函數(shù)y=sinx的反函數(shù)記作y=arcsinx，定義域?yàn)椋?1，1］，值域?yàn)?img alt="0" class="kindle-cn-inline-image" src="https://epubservercos.yuewen.com/15F51C/17404908605870106/epubprivate/OEBPS/Images/42277-00-014-07.jpg?sign=1754395457-B8YZOz0mp97Pz0l6BQApKOVMzitB13JR-0-e5613c512237225cadfcfd4896285e6c">，稱為反正弦函數(shù)（見圖1-26）；

定義2　在區(qū)間［0，π］上的余弦函數(shù)y=cosx的反函數(shù)記作y=arccosx，定義域?yàn)椋?1，1］，值域?yàn)椋?，π］，稱為反余弦函數(shù)（見圖1-27）；

定義3　在區(qū)間上的正切函數(shù)y=tanx的反函數(shù)記作y=arctanx，定義域是（-∞，+∞），值域?yàn)?img alt="0" class="kindle-cn-inline-image" src="https://epubservercos.yuewen.com/15F51C/17404908605870106/epubprivate/OEBPS/Images/42277-00-014-11.jpg?sign=1754395457-nqniQwahRP2V7wouYyIRt6KO7Q5ekqRo-0-f7167fba752f03edb60d659756a0333d">，稱為反正切函數(shù)，在整個(gè)定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)（見圖1-28）；定義在區(qū)間（0，π）上的余切函數(shù)y=cotx的反函數(shù)為y=arccotx，定義域是（-∞，+∞），值域?yàn)椋?，π），稱為反余切函數(shù)，在整個(gè)定義域上是單調(diào)遞減函數(shù)（見圖1-29）．

三角函數(shù)的反函數(shù)統(tǒng)稱為反三角函數(shù)．

2. 幾類特殊的函數(shù)

除五類基本函數(shù)以外，我們還需要了解下列函數(shù)．

例1　函數(shù)y=C，其中C為某確定的常數(shù)．它的定義域?yàn)?span id="hwnsap1" class="kindle-cn-italic">D=（-∞，+∞），值域?yàn)?span id="svgymzp" class="kindle-cn-italic">W={C}，它的圖形是一條平行于x軸的直線（見圖1-30），這個(gè)函數(shù)稱為常數(shù)函數(shù)．

例2　函數(shù)的定義域?yàn)?span id="myaxt6x" class="kindle-cn-italic">D=（-∞，+∞），值域W=［0，+∞），它的圖形如圖1-31所示，這個(gè)函數(shù)稱為絕對(duì)值函數(shù)．

例3　函數(shù)的定義域?yàn)?span id="m1sau71" class="kindle-cn-italic">D=（-∞，+∞），值域W={-1，0，1}，它的圖形如圖1-32所示，這個(gè)函數(shù)稱為符號(hào)函數(shù)．

對(duì)于任何實(shí)數(shù)x，關(guān)系式x=sgnx·|x|恒成立．

例4　設(shè)x為任一實(shí)數(shù)，不超過x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作［x］．函數(shù)y=［x］的定義域?yàn)?span id="lhpb60i" class="kindle-cn-italic">D=（-∞，+∞），值域?yàn)檎麛?shù)集Z，它的圖形如圖1-33所示．可以看出，它的圖形在x的整數(shù)值處出現(xiàn)跳躍，而躍度為1，這個(gè)函數(shù)稱為取整函數(shù)．

比如，［0.5］=0，，［-0.5］=-1，一般地，有

［x］=n，當(dāng)x∈［n，n+1），n=0，±1，±2，…．

在例2、例3等例子中看到，有時(shí)一個(gè)函數(shù)要用幾個(gè)式子表示，這種自變量在不同變化范圍中，對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù)稱為分段函數(shù)．分段函數(shù)在實(shí)際問題中經(jīng)常出現(xiàn)，我們應(yīng)重視對(duì)它的研究．

例5　函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，它的定義域D=（-∞，+∞）．當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x）=x-1；當(dāng)x∈［1，+∞）時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x）=x3它的圖形如圖1-34所示．

例如，-1∈（-∞，1），則f（-1）=-1-1=-2；1∈［1，+∞），則f（1）=13=1.

3. 初等函數(shù)

我們把由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次函數(shù)復(fù)合所構(gòu)成的，并可以用一個(gè)算式表示的函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)．例如，都是初等函數(shù)，本書中討論的函數(shù)基本上都是初等函數(shù)．對(duì)于初等函數(shù)，我們來研究一下它們的表達(dá)式和定義域．

例6　設(shè)f（x）=2x，，x≠0，x≠1，求f［g（x）］，g［f（x）］和f［f（x）］．

解

例7　求函數(shù)的定義域．

解　所給函數(shù)由，u=lnv，v=x2-3復(fù)合而成．的定義域是［0，+∞），即lnv≥0，從而v=x2-3≥1.解這個(gè)關(guān)于x的不等式，得|x|≥2.因此，函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，-2］∪［2，+∞）．

例8　設(shè)f（x）的定義域是（0，1），求f（sinx）的定義域．

解　函數(shù)f（sinx）由f（u），u=sinx復(fù)合而成．因?yàn)?span id="td7sw5c" class="kindle-cn-italic">f（u）的定義域?yàn)椋?，1），故必有u=sinx的值域是（0，1），即sinx∈（0，1）．因此，開區(qū)間（2nπ，（2n+1）π）（n∈Z）的并即為f（sinx）的定義域．

習(xí)題1-1

1. 設(shè)A，B分別為下列兩個(gè)給定的集合：

（1）A={1，2，3，4，5}，B={2，4，6，8}；

（2）A=Z+，B=N；

（3）A={x|3<x<5}，B={x|x>4}；

（4）A={x|x2+x-6<0}，B={x|x2-2x-3≤0}；

試求A∪B，A∩B，A＼B，B＼A．

2. 設(shè)U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，3，4}，B={3，6，7}，求AC，BC，AC∩BC，（A∪B）C．

3. 設(shè)A，B都是集合U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集，且AC∩BC={1，3，7，9}，試求A∪B．

4. 用區(qū)間表示適合下列不等式的變量x的變化范圍：

（1）2<x≤6；

（2）|x|<3；

（3）

（4）|x|>100；

（5）0<|x-1|<0.01；

（6）0<|x-2|≤5.

5. 設(shè)x∈U（1，δ）時(shí)，|2x-2|<ε，當(dāng)ε分別等于0.1和0.01時(shí)，求鄰域半徑δ各等于多少．

6. 求下列函數(shù)的定義域：

（7）y=f（x2+1），其中f（x）的定義域是［1，2］；

（8）y=f（sinx）+f（lnx），其中f（x）的定義域是［0，1）．

7. 設(shè)求f（1），，f（-3）．

8. 設(shè)，求．

9. ，求f［g（x）］，g［f（x）］．

10. 設(shè)，求f［f（x）］和f{f［f（x）］}．

11. 設(shè)，求f（x）．

12. 設(shè)f（x）=3x2+4x，φ（t）=lg（1+t），求f［φ（t）］，φ［f（x）］及其定義域．

13. 已知函數(shù)

（1）寫出f（x）的定義域，并畫出函數(shù)f（x）的圖形；

（2）求f（0），f（1.2），f（3），f（4）．

14. 設(shè)求復(fù)合函數(shù)f［f（x）］．

15. 試將函數(shù)f（x）=2|x-2|+|x-1|表示成分段函數(shù)，并畫出它的圖像．