12.3　無窮小量與無窮大量

本節重點知識：

1.無窮小量及其性質.

2.無窮大量.

3.無窮大量與無窮小量之間的關系.

12.3.1　無窮小量及其性質

定義1　如果函數f（x）當x→x0（或x→∞）時的極限為零，即（或），則稱函數f（x）為當x→x0（或x→∞）時的無窮小量（簡稱無窮小）.

注意：

（1）說一個變量是無窮小量，必須指明x的趨近過程；

（2）無窮小量是在某一過程中，以0為極限的變量，而不是絕對值很小的數.

（3）0是可以作為無窮小量的唯一的數.

例1　自變量x在怎樣的變化過程中，下列函數為無窮小：

解　做出上述四個函數的圖像（見圖12-31），由圖12-31可知：

（1），所以當x→∞時為無窮小.

（2），所以當時（2x-1）為無窮小.

（3），所以當x→-∞時2x為無窮小.

（4），所以當x→+∞時為無窮小.

無窮小的性質

在自變量的同一變換過程中：

（1）有限個無窮小的和是無窮小.

（2）有界函數與無窮小的乘積是無窮小.

（3）常數與無窮小的乘積是無窮小.

（4）有限個無窮小的乘積也是無窮小.

例2　求.

解　因為且，即有界，所以.

12.3.2　無窮大量

引例　考察當x從1的左右兩側趨近于1時，函數的變化情況.列表（見表12-6）考察.

用圖像考察（如圖12-32）.從表和圖中可知，當x從1的左側趨近于1時，可以任意小，但絕對值任意大；當x從1的右側趨近于1時，可以任意大，這時我們就稱當x→1時為無窮大量.記為.

定義2　如果當x→x0（或x→∞）時，函數f（x）的絕對值|f（x）|無限增大，就稱函數f（x）為當x→x0（或x→∞）時的無窮大量（簡稱無窮大）記為

注意

（1）說一個變量是無窮大量，必須指明x的趨近過程；

（2）無窮大量是在某一過程中，絕對值無限增大的變量，而不是絕對值很大的數；

（3）如果 ，我們常說當x→x0時函數f（x）的極限是無窮大，此時極限并不存在.

正無窮大與負無窮大

如果當x→x0時，對應的函數值f（x）無限增大，就稱函數f（x）為當x→x0時的正無窮大，記為；如果當x→x0，對應的函數值f（x）為負數，且絕對值|f（x）|無限增大，就稱函數f（x）為當x→x0時的負無窮大，記為，如圖12-33所示.

例3　自變量x在怎樣的變化過程中，下列函數為無窮大.

（1）；　　（2）y=ln x；　　（3）y=2x.

解　（1）因為，即x→0時x為無窮小量，所以當x→0時，為無窮大量；

（2）由圖12-34（a）可知，當x→0+時，lnx→-∞，當x→+∞時，ln x→+∞，所以當x→0+及x→+∞時，ln x均為無窮大量；

（3）由圖12-34（b）可知，當x→+∞時，2x→+∞，所以當x→+∞時，2x為無窮大量.

12.3.3　無窮大與無窮小之間的關系

在自變量的同一變化過程中，如果f（x）為無窮大，則為無窮小；反之，如果f（x）為無窮小，且f（x）≠0，則為無窮大.