2.2　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）可分為三步：

（1）求增量Δy=f（x+Δx）-f（x）.

（2）算比值Δy與自變量的增量Δx的比：

這個(gè)比值稱(chēng)為函數(shù)的平均變化率，又稱(chēng)差商.

若此極限存在，則此極限值就是函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）.

下面我們根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

2.2.1　一些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1.常量的導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)y=c，因?qū)θ魏蝬，有y≡c，顯然Δy=0，所以，即

（c）′=0

2.冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)y=xn（n為正整數(shù)），給x以增量Δx，由二項(xiàng)式展開(kāi)定理有：

即　　（xn）′=nxn-1

當(dāng)n=1時(shí)，上式為　　x′=1

即自變量對(duì)其自身的導(dǎo)數(shù)等于1.

更一般地，對(duì)于冪函數(shù)y=xa（a為任意實(shí)數(shù)），有

（xa）′=axa-1

這就是冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，此公式的證明將在后面討論.

3.對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)y=logax（a>0且a≠1）.

給自變量x以增量Δx，則

特別對(duì)于a=e，則有　　

4.正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)y=sin x，給自變量x以增量Δx，則Δy=sin（x+Δx）-sin x，由三角函數(shù)的和差化積公式，有

即　　（sin x）′=cos x

同理可證　　（cos x）′=-sin x

2.2.2　函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則

設(shè)函數(shù)u=u（x），v=v（x）在x點(diǎn)處可導(dǎo)，即u′=u′（x）及v′=v′（x）.

法則1　兩個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的導(dǎo)數(shù)

（u±v）′=u′±v′

證明　設(shè)y=u±v.給自變量x以增量Δx，函數(shù)y，u，v的增量依次為Δy，Δu，Δv有

Δu=u（x+Δx）-u（x）Δv=v（x+Δx）-v（x）

Δy=[u（x+Δx）±v（x+Δx）]-[u（x）±v（x）]

=[u（x+Δx）-u（x）]±[v（x+Δx）-v（x）]=Δu±Δv

即　　（u±v）′=u′±v′

此法則可推廣到有限個(gè)函數(shù)代數(shù)和的導(dǎo)數(shù)情形，例如（u+v-w）′=u′+v′-w′.

例1　已知函數(shù)，求y′.

法則2　兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)

（u·v）′=u′v+uv′

證明　設(shè)函數(shù)y=uv，類(lèi)同法則1有

Δy=u（x+Δx）v（x+Δx）-u（x）v（x）

=u（x+Δx）v（x+Δx）-u（x+Δx）v（x）+u（x+Δx）v（x）-u（x）v（x）

=u（x+Δx）[v（x+Δx）-v（x）]+v（x）[u（x+Δx）-u（x）]

=u（x+Δx）Δv+v（x）Δu

已知函數(shù)u（x），v（x）在x點(diǎn)處可導(dǎo)，則u（x）在x點(diǎn)處連續(xù)，故有

即　　（uv）′=u′v+uv′

推論1　　（cu）′=cu′

推論2　　（uvw）′=u′vw+uv′w+uvw′

乘積的法則也可推廣到任意有限個(gè)函數(shù)之積的情形.

例2　已知y=ln x（sin x+cos x），求y′.

法則3　兩個(gè)函數(shù)商的導(dǎo)數(shù)

推論3　

例3　已知函數(shù)y=tan x，求y′.

例4　已知函數(shù)y=sec x，求y′.

即　　（sec x）′=tan x·sec x

同理可求　　（cscx）′=-cotx·cscx

2.2.3　復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

法則4　（鏈?zhǔn)椒▌t）設(shè)函數(shù)u=φ（x）在x點(diǎn)處可導(dǎo)，而函數(shù)y=f（u）在x點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)u（u=φ（x））處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f（φ（x））在x點(diǎn)處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為

f′（φ（x））=f′（u）φ′（x）　　（2.2）

證明　設(shè)x有增量Δx，則相應(yīng)的函數(shù)u有增量Δu，函數(shù)y有增量Δy，因?yàn)?/p>

由于u=φ（x）在x點(diǎn)可導(dǎo)，當(dāng)然在x點(diǎn)連續(xù)，故當(dāng)Δx→0時(shí)，有Δu→0.

此法則可以推廣到多個(gè)中間變量的情形.我們以?xún)蓚€(gè)中間變量為例，設(shè)y=f（u），u=φ（v），v=ψ（x）.則

故復(fù)合函數(shù)y=f（φ（ψ（x）））的導(dǎo)數(shù)為

例5　已知函數(shù)y=sinln x2，求y′.

解　令y=sinu，u=lnv，v=x2，則有

例6　已知函數(shù)y=sin8x，求y′.

解　令y=sinu，u=8x，則，

對(duì)復(fù)合函數(shù)的分解比較熟練后，就不必再寫(xiě)出中間變量。

例7　已知函數(shù)，求y′.

2.2.4　反函數(shù)的求導(dǎo)法則

為了討論指數(shù)函數(shù)（對(duì)數(shù)函數(shù)的反函數(shù)）與反三角函數(shù)（三角函數(shù)的反函數(shù)）的導(dǎo)數(shù)，下面先研究反函數(shù)（inverse function）的求導(dǎo)法則.

法則5　如果函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間Ix內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)不等于零，則它的反函數(shù)x=φ（y）在對(duì)應(yīng)區(qū)間Iy={y｜y=f（x），x∈Ix}上可導(dǎo)，且

此定理說(shuō)明：一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).

證明　設(shè)函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)x=φ（y）在y點(diǎn)有增量Δy，且Δy≠0，有

Δx=φ（y+Δy）-φ（y）；Δy=f（x+Δx）-f（x）

當(dāng)Δy→0時(shí)，有Δx→0；當(dāng)Δy≠0時(shí)，有Δx≠0，則

例8　求指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，a≠1）的導(dǎo)數(shù).

解　已知y=ax是x=logay的反函數(shù)，由

即　　（ax）′=axlna

特別地，當(dāng)a=e時(shí)，有

（ex）′=ex

例9　求反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

用類(lèi)似方法可得

例10　求冪函數(shù)y=xα（α為實(shí)數(shù)，x>0）的導(dǎo)數(shù).

解　由于y=eαln x，故

即　　（xα）′=αxα-1

2.2.5　隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

前面，我們討論的求導(dǎo)運(yùn)算都是針對(duì)函數(shù)y能明確寫(xiě)成自變量x的解析式y(tǒng)=f（x），這樣的函數(shù)，我們稱(chēng)為顯函數(shù)（explicit function）.但有時(shí)遇到兩個(gè)自變量x，y間的函數(shù)關(guān)系是由方程F（x，y）=0所確定的，這樣的函數(shù)，稱(chēng)為隱函數(shù)（imlicit function）.

例如，x2+y2=1和exy-xy=0都確定了x和y之間的某種函數(shù)關(guān)系.

求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并不需要將y從方程F（x，y）=0中解出來(lái)，亦不需要引進(jìn)新的法則，只要對(duì)方程F（x，y）=0的兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，便得到所求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).求導(dǎo)時(shí)注意y是x的函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，便能得到所求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

例11　求由方程y3+3y-x-2x5=0所確定的函數(shù)y對(duì)x的導(dǎo)數(shù).

解　方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)

例12　求由方程ey=x2y+ex所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)y′和y′｜x=0.

解　方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得

ey·y′=2xy+x2y′+ex

當(dāng)x=0時(shí)，由ey=x2y+ex得y=0，代入上式得y′｜x=0=1.

2.2.6　對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

將函數(shù)的表達(dá)式兩邊取自然對(duì)數(shù)，并利用對(duì)數(shù)性質(zhì)將表達(dá)式化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，將等式兩邊對(duì)自變量求導(dǎo)，最后得出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這種方法叫做對(duì)數(shù)求導(dǎo)法.下面通過(guò)兩個(gè)例子說(shuō)明這種方法.

例13　已知函數(shù)，求y′.

解　將等式兩邊取對(duì)數(shù)，得

對(duì)x求導(dǎo)，得

例14　已知函數(shù)y=xsin x，求y′.

解　兩邊取對(duì)數(shù)，化為隱式，得

ln y=sin x·ln x

兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得

*2.2.7　由參數(shù)方程所確定的函數(shù)導(dǎo)數(shù)

當(dāng)函數(shù)由參數(shù)方程

確定時(shí)，在不消去參數(shù)t的情況下，可以方便地求出y對(duì)x的導(dǎo)數(shù) ，過(guò)程如下：分別求出y對(duì)t的導(dǎo)數(shù) ，及x對(duì)t的導(dǎo)數(shù) ，即得y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)

例15　求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

故

為了便于查閱，我們列出基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

1.（c）′=0（c為常數(shù)）.　　2.（xα）′=αxα-1（α為實(shí)數(shù)）.

5.（ax）′=axlna.　　6.（ex）′=ex.

7.（sin x）′=cos x.　　8.（cos x）′=-sin x.

11.（sec x）′=tan x·sec x.　　12.（cscx）′=-cotx·cscx.

2.2.8　高階導(dǎo)數(shù)

函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）仍然是x的函數(shù)，我們可以繼續(xù)討論f′（x）的導(dǎo)數(shù).如果f′（x）仍然可導(dǎo)，它的導(dǎo)數(shù)就稱(chēng)為函數(shù)y=f（x）的二階導(dǎo)數(shù)（second derivative），記為

依此類(lèi)推，如果函數(shù)y=f（x）的n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，它的導(dǎo)數(shù)就叫作函數(shù)y=f（x）的n階導(dǎo)數(shù)（n-th derivative），記為

函數(shù)y=f（x）在x點(diǎn)具有n階導(dǎo)數(shù)，則f（x）在x點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)必定具有一切低于n階的導(dǎo)數(shù).

二階以及二階以上的導(dǎo)數(shù)，統(tǒng)稱(chēng)為高階導(dǎo)數(shù)（higher derivative）.

如物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律（函數(shù)）是s=s（t），則s（t）的導(dǎo)數(shù)是物體t時(shí)刻的瞬時(shí)速度v（t），即v（t）=s′（t）.加速度等于速度v（t）在t時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)，即加速度為s（t）的二階導(dǎo)數(shù)α=s″（t）.這就是二階導(dǎo)數(shù)的物理意義.

顯然，求一函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)，只需對(duì)函數(shù)進(jìn)行n次求導(dǎo).因此，求高階導(dǎo)數(shù)無(wú)需新的方法.

例16　求的二階導(dǎo)數(shù).

例17　求y=ax的n階導(dǎo)數(shù).

解　　y′=axlna

y″=ax（lna）2

…

y（n）=ax（lna）n

即　　（ax）（n）=ax（lna）n

顯然　　（ex）（n）=ex

例18　求y=sin x的n階導(dǎo)數(shù).

同理可得