2.1　導數的概念

變量、函數還不能從數量關系上完全刻畫物質的運動.恩格斯指出：“只有微分學才能使自然科學有可能用數學來不僅表明狀態，并且也表明過程、運動.”下面我們分析兩個實際問題，從中探討解決問題的基本思想方法，并給出導數的概念.

2.1.1　變化率問題

先考察兩個實例.

1.自由落體的瞬時速度

眾所周知，自由落體的速度是不斷變化的.假如物體在初始時刻是靜止的，并且忽略空氣阻力的作用，則在時間t內下落的路程為，其中g=9.81m/s2（自由落體加速度）.

對于勻速運動，利用速度公式

來表示各段時刻的速度.但對于類似自由落體這樣的變速運動，由于每一時刻的速度都是不斷變化的，因此無法利用上述公式來表示某一時刻的速度，需從另外角度來考慮這個問題.

欲求出自由落體運動在t0時刻的瞬時速度v0，先考察自由落體運動在t0時刻以前或以后的一個時刻t0+Δt，Δt是時間的增量.在t0與t0+Δt即｜Δt｜這段時間內自由落體所經過的路程為

若｜Δt｜很小，在這段時間內，我們將速度近似地看成是均勻的，其平均速度為

可以作為t0時刻的瞬時速度的近似值，顯然｜Δt｜越小，這個近似值越精確.于是，自由落體運動t0時刻的瞬時速度v0，就是當Δt無限趨于0（Δt≠0）時，平均速度vΔt的極限，即

2.化學反應的速度

在某一化學反應中，生成某一物質.設該物質的生成量Q與時間t的函數關系為Q=Q（t），為確定t0時刻的反應速度，先考察在t0時刻以前或以后的一個時刻t0+Δt，在t0與t0+Δt即｜Δt｜這段時間內，物質生成量的增量為

ΔQ=Q（t0+Δt）-Q（t0）

化學反應的平均速度為

顯然，當Δt→0時，平均速度vΔt的極限，就是t0時刻化學反應的速度v0，即

2.1.2　導數的定義

自由落體運動在某一時刻的瞬時速度問題及化學反應的速度問題，實際上是求函數的增量與自變量的增量之比的極限.許多理論和實際應用上的問題都要求計算這種類型的極限，即函數的變化率問題.

定義1　設函數y=f（x）在x0點的某一鄰域內有定義，當自變量x在x0點有增量Δx（點x0+Δx仍在該鄰域內），函數y相應有增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0），若函數的增量與自變量的增量之比當Δx→0時的極限存在，則稱函數y=f（x）在x0點處可導（有導數），該極限值稱為函數f（x）在x0點處的導數（derivative）.記為

也可記為

若此極限不存在，則稱函數f（x）在x0點不可導.若不可導的原因是，Δx→0時， ，為了方便起見，稱f（x）在x0點的導數為無窮大，記為f′（x0）=∞.

若f（x）在開區間（a，b）上每一點處都可導，就稱函數f（x）在開區間（a，b）內可導.

從定義可以看出，f（x）在x點的導數是隨x的改變而變化的，當任一x∈（a，b）時，都對應著f（x）的一個確定的導數值f′（x），所以f′（x）可以看成是x的一個新函數，我們稱其為原來的函數y=f（x）的導函數，簡稱導數.記為f′（x），y′，.

在（2.1）式中，若自變量的增量Δx只從大于0或只從小于0的方向趨于0，有

定義2　如果極限

存在，則稱其極限值為函數f（x）在x0點的右導數（derivative on the right）或左導數（derivative on the left），記為 或 ，且統稱為單側導數.

易證，f（x）在x0點可導的充分必要條件是：函數f（x）在x0點的左導數、右導數都存在且相等，即.

若函數f（x）在開區間（a，b）內可導，且 且 存在，就說函數f（x）在閉區間[a，b]上可導.

例1　已知函數y=x2，求y′.

y=（x+Δx）2-x2=2xΔx+（Δx）22

例2　已知函數，求y′及y′｜x=1.

即 ，從而 .

2.1.3　導數的幾何意義

為了使我們對“導數是函數在某點的變化率”有一直觀的認識，下面用幾何圖形來說明導數的幾何意義.

在平面直角坐標系xOy上，做函數y=f（x）的圖形（見圖2-1），在橫坐標上取一點x0，并給增量Δx，曲線y=f（x）上橫坐標為x0和x0+Δx的點分別為M0和M.顯然M0點為（x0，f（x0）），M點為（x0+Δx，f（x0+Δx）），從而M0M為割線（secant）.由圖2-1，割線M0M的斜率為

當Δx→0時，M點沿曲線y=f（x）趨向于M0點，割線M0M趨向于直線M0T，割線M0M的極限位置M0T叫做曲線y=f（x）在M0點的切線（tangent）.顯然，切線M0T的斜率為

由此可見，導數f′（x0）的幾何意義：f′（x0）表示曲線y=f（x）在M0（x0，f（x0））處的切線斜率.

過M0點且與切線垂直的直線叫作曲線y=f（x）在M0點的法線.由解析幾何知，法線的斜率與切線的斜率互為負倒數.因此，曲線y=f（x）在M0點的切線方程為

y-f（x0）=f′（x0）（x-x0）

法線方程為

顯然，f′（x0）=0，切線方程為y=f（x0），法線方程為x=x0；

f′（x0）=∞，切線方程為x=x0，法線方程為y=f（x0）.

例3　求曲線y=x2在M0（1，1）點處的切線方程與法線方程.

解　由例1，y′=2x，故y′｜x=1=2，所以，曲線y=x2在M0（1，1）處的切線的斜率k1與法線斜率k2分別為：k1=y′｜x=1=2，因此，切線方程為

y-1=2（x-1）

即　　y=2x-1

法線方程為

2.1.4　函數的可導性與連續性的關系

如果函數y=f（x）在x點可導，則有

表明函數在x點連續.也就是說，如果函數f（x）在x點可導，則在該點必連續.

函數f（x）在x點連續，但在該點不一定可導.例如y=｜x｜（見圖2-2），在x=0點連續，但在該點不可導.

因為，左、右導數不相等，即導數不存在.