§1.2　行列式的定義

通過本節的學習，學生應掌握用對角線法則求二、三階行列式的值，掌握n階行列式的概念，記住四種特殊行列式的值.

為了引出行列式的一般定義，我們先介紹低階行列式.

1.2.1　二階、三階行列式

1.二階行列式

將a11，a12，a21，a22四個數排成兩行兩列的數表，稱此為二階行列式.通常用D表示，并規定.其中aij稱為二階行列式的元素，元素aij的第一個下標i稱為行標，第二個下標j稱為列標.如a12表示這個元素位于第一行、第二列.

上述二階行列式可用對角線法則記憶，如圖1.1所示.

把a11到a22的實線連接稱為主對角線，a12到a21的虛線連接稱為次對角線或副對角線.二階行列式的值可以敘述為主對角線元素的乘積減去次對角線元素的乘積.

可以看出，二階行列式一共有22個元素，共2！項；二階行列式值中的每項均為選自不同行、不同列的兩個元素的乘積.

例1　計算二階行列式.

解　=3×2-（-1）×1=7.

例2　設，問λ為何值時，D≠0.

解　

令D≠0，則λ≠0且.

故當λ≠0且時，D≠0.

2.三階行列式

類似地，可以定義三階行列式.

設有九個數排成三行三列的數表，并規定

a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31.

由上式可見，三階行列式共有3！=6項，每項均為取自不同行、不同列的三個元素的乘積再冠以正負號，三階行列式可用對角線法則記憶，其規律如圖1.2所示.

例3　計算三階行列式.

解　D =1×0×5+3×3×2+2×（-1）×1-2×0×2-3×（-1）×5-1×3×1=0+18-2-0+15-3=28.

注意　對角線法則僅適用于二階和三階的行列式，下面我們介紹n階行列式的定義及其計算方法.

1.2.2　n階行列式

由二階、三階行列式值的規律特點，不難得出：

（1）n2個數排成n行n列，兩邊加豎線就是一個n階行列式.共有n！項，每項都來自于不同行、不同列的幾個元素的連乘積，其中j1j2…jn為列標的一個n階排列.

（2）每項符號的確定：當列標j1j2…jn為偶排列時，該項取正號；當列標j1j2…jn為奇排列時，該項取負號，即符號可寫成.

由此得出行列式的一般定義：

定義1　由n2個數排成n行n列，寫成

稱為n階行列式，其中aij為第i行、第j列的元素；其值為n！項，每一項取自不同行、不同列的n個元素的連乘積，即 的代數和.其中j1j2…jn構成一個n級排列.

若用D表示行列式，則

表示當行標為標準排列時，對列標的每一種排列所確定的項求和.（2）是（1）的展開式，從上面的分析及定義，可得到n階行列式的另一種定義形式：

定義2　，

即把列標寫成標準排列i1i2…in為行標的一個n級排列.由此得到行列式更一般的定義形式.

定義3　，

其中i1i2…in為行標的一個n級排列，j1j2…jn為列標的一個n級排列.

例4　四階行列式共有多少項？乘積a12a24a32a41是D中的項嗎？

解　共有4！ =24項.乘積a12a24a32a41不是D中的一項，因為其中有兩個元素a12，a32均取自第2列.

例5　已知，求x3的系數.

解　由行列式的定義，展開式的一般項為，要出現x3的項，則需三項取到x.顯然行列式中含x3的項僅有兩項，它們是

即　　x·x·x·1=x3及（-1）·x·x·1·2x=-2x3，

故x3的系數為1+（-2）=-1.

1.2.3　特殊行列式

下面利用行列式的定義來計算幾種特殊的n階行列式

1.對角行列式

稱為對角行列式.

根據行列式的定義得

2.上三角形行列式

稱為上三角形行列式.

根據行列式的定義得

3.下三角形行列式

稱為下三角形行列式

同理可得

4.副對角行列式

稱為副對角行列式.

根據行列式的定義得

習題1.2　

1.計算下列行列式：

；

；

2.當x取何值時

3.下列各項是五階行列式|aij|中的一項嗎？若是，確定該項的符號.

（1）a12a25a33a41a54；（2）a31a12a43a52a24；（3）a42a21a35a13a54.

4.在四階行列式中，寫出同時含a12和a21的那些項，并確定它們的正負號.

5.用行列式定義計算下列行列式：

；；