§1.1　預備知識

通過本節的學習，學生應了解和號、積號的表示形式及意義，會求排列的逆序數及判斷排列的奇偶性.

1.1.1　和號和積號

1.和號

符號表示a1，a2，…，an的連加和.

其中i稱為下標，下標是虛擬變量，可由任意字母替代，如

在本課程中，我們還要采用雙重和號，如

表示m·n個數aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）的連加和.

2.積號

符號，表示a1，a2，…，an的連乘積.

再如，符號

表示所有可能的（xi-xj）（i>j）的連乘積.

1.1.2　排列及其性質

在n階行列式的定義中，要用到n級排列的一些性質，先介紹排列的定義.

定義1　由自然數1，2，3，…，n組成的一個無重復有序數組i1，i2，…，in稱為一個n級排列.

例1　由自然數2，3，4可組成幾級排列？分別是什么？

解　可以組成三級排列，它們是234，243，324，342，423，432.

顯然，三級排列共有3！ =6個，所以n級排列的總數為n！個.

定義2　在一個n級排列i1，i2，…，in中，如果較大數is排在較小數it之前，即is>it，則稱這一對數isit構成一個逆序，一個排列中逆序的總數，稱為它的逆序數.可表示為τ（i1，i2，…，in）.

例2　求τ（21534），τ（32541）.

解　在五級排列21534中，構成逆序數對的有21，53，54，因此τ（21534）=3.

在五級排列32541中，構成逆序數對的有32，31，21，54，51，41，因此τ（32541）=6.

定義3　如果排列i1，i2，…，in的逆序數為偶數，則稱它為偶排列；如果排列的逆序數為奇數，則稱它為奇排列.

例3　試求τ（123…n）τ（n（n-1）…321），并討論其奇偶性.

解　易見在n階排列1，2，3，…，n中沒有逆序，所以τ（123…n）=0，這是一個偶排列，它具有自然順序，故又稱自然排列.

在n，n-1，…，3，2，1中，只有逆序，沒有順序，故有

可以看出，排列n，n-1，…，3，2，1的奇偶性與n的取值有關，當n=4k或n=4k+1時這個排列為偶排列，否則為奇排列.

定義4　排列i1，i2，…，in中，交換任意兩數it與is的位置，稱為一次交換，記為（is，it）.如.一般地，我們有以下結論.

定理1　任意一個排列經過一次對換后，改變其奇偶性.（證明略）

定理2　在全部n級排列中（n≥2），奇偶排列各占一半.（證明略）

習題1.1　

1.求下列排列的逆序數，并說明它們的奇偶性：

（1）41253；　　（2）3712456；　　（3）57681234；　　（4）796815432.

2.確定i和j的值，使得9級排列滿足以下條件：

（1）1274i56j9成偶排列；　　（2）3972i15j4成奇排列.