四 就講和差算罷

例一：大小兩數的和是十七，差是五，求兩數。

馬先生側著身子在黑板上寫了這么一道題，轉過來對著聽眾，兩眼向大家掃視了一遍。

“周學敏，這道題你會算了嗎？”周學敏也是一個對于學習算學感到困難的學生。

周學敏站起來，回答道：“這和前面的例子是一樣的。”

“不錯，是一樣的，你試將圖畫出來看看。”

周學敏很規矩地走上講臺，迅速在黑板上將圖畫了出來。

馬先生看了看，問：“得數是多少？”

“大數十一，小數六。”

雖然周學敏得出了這個正確的答案，但他好像不是很滿意，回到座位上，兩眼遲疑地望著馬先生。

馬先生覺察到了，問：“你還放心不下什么？”

周學敏立刻回答道：“這樣畫法是懂得了，但是這個題的算法還是不明白。”

馬先生點了點頭說：“這個問題，很有意思。不過你們應當知道，這只是算法的一種，因為它比較具體而且可以依據一定的法則，所以很有價值。由這種方法計算出來以后，再仔細地觀察、推究算術中的計算法，有時便可得出來。”

如圖，OA是兩數的和，OC是兩數的差，CA便是兩數的和減去兩數的差，CF恰是小數，又是CA的一半。因此就本題說，便得出：

OF既是大數，FA又等于CF，若在FA上加上OC，就是圖中的FH，那么FH也是大數，所以OH是大數的二倍。由此又可得下面的算法：

記好了OA是兩數的和，OC是兩數的差，由這計算，還可得出這類題的一般的公式來：

（和+差）÷2=大數，大數-差=小數；

或

（和-差）÷2=小數，小數+差=大數。

例二：大小兩數的和為二十，小數除大數得四，大小兩數各是多少？

這道題的兩個條件是：（1）兩數的和為二十，這便是和一定的關系；（2）小數除大數得四，換句話說，便是大數是小數的四倍——倍數一定的關系。由（1）得圖中的AB，由（2）得圖中的OD。AB和OD交于E。

由E橫看得16，豎看得4。大數16，小數4，就是所求的解答。

“你們試由圖上觀察，發現本題的計算法，和計算這類題的公式。”馬先生一邊畫圖，一邊說。

大家都睜著雙眼盯著黑板，還算周學敏勇敢：“OA是兩數的和，OF是大數，FA是小數。”

“好！FA是小數。”馬先生好像對周學敏的這個發現感到驚異，“那么，OA里一共有幾個小數？”

“5個。”周學敏。

“5個？從哪里來的？”馬先生有意地問。

“OF是大數，大數是小數的4倍。FA是小數，OA等于OF加上FA。4加1是5，所以有5個小數。”王有道。

“那么，本題應當怎樣計算？”馬先生。

“用5去除20得4，是小數；用4去乘4得16，是大數。”我回答。

馬先生靜默了一會兒，提起筆在黑板上一邊寫，一邊說：“要這樣，在理論上才算完全。”

20÷（4+1）=4——小數

4×4=16——大數

接著又問：“公式呢？”

大家差不多一齊說：“和÷（倍數+1）=小數，小數×倍數=大數。”

例三：大小兩數的差是六，大數是小數的三倍，求兩數。

馬先生將題目寫出以后，一聲不響地隨即將圖畫出，問：

“大數是多少？”

“9。”大家齊聲回答。

“小數呢？”

“3。”也是眾人一齊回答。

“在圖上，OA是什么？”

“兩數的差。”周學敏。

“OF和AF呢？”

“OF是大數，AF是小數。”我搶著說。

“OA中有幾個小數？”

“3減1個。”王有道表示不甘示弱地爭著回答。

“周學敏，這題的算法怎樣？”

“6÷（3-1）=6÷2=3——小數，3×3=9——大數。”

“李大成，計算這類題的公式呢？”馬先生表示默許以后說。

“差÷（倍數-1）=小數，小數×倍數=大數。”

例四：周敏和李成分三十二個銅板，周敏得的比李成得的三倍少八個，各得幾個？

馬先生在黑板上寫完這道題目，板起臉望著我們，大家不禁哄堂大笑，但不久就靜默下來，望著他。

馬先生：“這回，老文章有點兒難套用了，是不是？第一個條件兩人分三十二個銅板，這是‘和一定的關系’，這條線自然容易畫。第二個條件卻是含有倍數和差，困難就在這里。王有道，表示這第二個條件的線怎樣畫法？”

王有道受窘了，緊緊地閉著雙眼思索，右手的食指不停地在桌上畫來畫去。

馬先生：“西洋鏡鑿穿了，原是不值錢的。只要想想昨天講過的三個例子的畫線法，本質上毫無分別。現在無妨先來解決這樣一個問題，‘甲數比乙數的二倍多三’，怎樣用線表示出來？

“在昨天我們講最后三個例子的時候，每圖都是先找出A、B兩點來，再聯結它們成一條直線，現在仍舊可以依樣畫葫蘆。

“用橫線表乙數，縱線表甲數。

“甲比乙的二倍多三，若乙是零，甲就是3，因而得A點。若乙是1，甲就是5，因而得B點。

“現在從AB上的任意一點，比如C，橫看得11，豎看得4，不是正合條件嗎？

“若將表示小數的橫線移到3x，對于3x和3y來說，AB不是正好表示兩數定倍數的關系嗎？

“明白了嗎？”馬先生很莊重地問。

大家只以沉默表示已經明白。接著，馬先生又問：

“那么，表示‘周敏得的比李成得的三倍少八個’，這條線怎么畫？周學敏來畫畫看。”大家又笑一陣。周學敏在黑板上畫成下圖：

“由這圖看來，李成一個錢不得的時候，周敏得多少？”馬先生。

“8個。”周學敏。

“李成得1個呢？”

“11個。”有一個同學回答。

“那豈不是文不對題嗎？”這一來大家又呆住了。

畢竟王有道的算學好，他說：“題目上是‘比三倍少八’，不能這樣畫。”

“照你的意見，應當怎么畫？”馬先生問王有道。

“我不知道怎樣表示‘少’。”王有道。

“不錯，這一點需要特別注意。現在大家想，李成得三個的時候，周敏得幾個？”

“1個。”

“李成得四個的時候呢？”

“4個。”

“這樣A、B兩點都得出來了，聯結AB，對不對？”

“對——！”大家露出有點兒樂得忘形的神氣，拖長了聲音這樣回答，簡直和小學三四年級的學生一般，惹得馬先生也笑了。

“再來變一變戲法，將AB和OY都向相反方向拉長，得交點E。OE是多少？”

“8。”

“這就是‘少’的表出法，現在歸到本題。”馬先生接著畫出了圖16。

“各人得多少？”

“周敏二十二個，李成十個。”周學敏。

“算法呢？”

“（32+8）÷（3+1）=40÷4=10——李成得的數。

10×3-8=30-8=22——周敏得的數。”我說。

“公式是什么？”

好幾個人回答：

“（總數+少數）÷（倍數+1）=小數，

小數×倍數-少數=大數。”

例五：兩數的和是十七，大數的三倍與小數的五倍的和是六十三，求兩數。

“我用這個題來結束這第四段。你們能用畫圖的方法求出答案來嗎？各人都自己算算看。”馬先生寫完了題這么說。

跟著，沒有一個人不用鉛筆、三角板在方格紙上畫。——方格紙是馬先生預先叫大家準備的。——這是很奇怪的事，沒有一個人不比平常上課用心。同樣都是學習，為什么有人被強迫著，反而不免想偷懶；沒有人強迫，比較自由了，倒一齊用心起來。這真是一個謎。

和小學生交語文作業給先生看，期望著先生說一聲“好”，便回到座位上謄正一般，大家先后畫好了拿給馬先生看。這也是奇跡，八九個人全沒有錯，而且畫完的時間相差也不過兩分鐘。這使馬先生感到愉快，從他的臉上的表情就可以看出來。不用說，各人的圖，除了線有粗細以外，全是一樣，簡直好像印板印的一樣。

各人回到座位上坐下來，靜候馬先生講解。他卻不講什么，突然問王有道：“王有道，這道題用算術的方法怎樣計算？你來給我代課，講給大家聽。”馬先生說完了就走下講臺，讓王有道去做臨時先生。

王有道雖然有點兒靦腆，但最終還是拖著腳上了講臺，拿著粉筆，硬做起先生來。

“兩數的和是十七，換句話說，就是：大數的一倍與小數的一倍的和是十七，所以用三去乘十七，得出來的便是：大數的三倍與小數的三倍的和。

“題目上第二個條件是大數的三倍與小數的五倍的和是六十三，所以若從六十三里面減去三乘十七剩下來的數里，只有‘五減去三’個小數了。”王有道很神氣地說完這幾句話后，便默默地在黑板上寫出下面的式子，寫完低著頭走下講臺。

（63-17×3）÷（5-3）=12÷2=6——小數

17-6=11——大數

馬先生接著上了講臺：“這個算法，你們大概都懂得了吧？我想你們依了前幾個例子的樣兒，一定要問：‘這個算法怎樣從圖上可以觀察得出來呢？’這個問題卻把我難住了。我只好回答你們，這是沒有法子的。你們已學過了一點代數，知道用方程式來解算術中的四則問題。有些題目，也可以由方程式的計算，找出算術上的算法，并且對于那算法加以解釋。但有些題目，要這樣做卻很勉強，而且有些簡直勉強不來。各種方法都有各自的立場，這里不能和前幾個例子一樣，由圖上找出算術中的計算法，也就因為這個。

“不過，這種方法比較具體而且確定，所以用來解決問題比較便當。由它雖有時不能直接得出算術的計算法來，但一個題已有了答案總比較易于推敲。對于算術方法的思索，這也是一種好處。

“這一課就這樣完結吧。”