1.2 坐標系

根據對距離的物理解釋，我們能夠用測量法確立一固體上兩點間的距離。為達成這個目的，我們用“距離”（桿S）作為標準量度。如果A和B是一固體上的兩點，按照幾何學的規則，我們可以作一直線連接兩點，然后以A為起點，直至到達B點為止，其間多次反復記取從A點到B點間的測量距離S。所需記取的S的次數就是AB距離的數值量度，這是一切長度測量的基礎。

不僅在科學方面，對于日常生活而言，描述一切事件發生的地點或任一物體在空間中的位置的基礎，都是參考在一固定物體上確定該事件或該物體的相重合點為根據的。比如泰晤士廣場在空間中的位置，地球是能夠參照的固體，“泰晤士廣場”是地球上已明確規定的一點，現在所考慮的則是在空間上與“泰晤士廣場”相重合的點。

這種標記位置的原始方法有兩個限制：其一，它只適用于固體表面上的位置；其二，當固體表面不存在能夠相互區分的點時，該方法便不適用。但在不改變位置標志的本質時，這兩種限制是能擺脫的。例如有一朵白云飄浮在時代廣場上空，我們可以在廣場上垂直豎起一根長竿直抵白云，以此來確定白云相對于地球表面的位置，用標準量桿測量長竿的長度，結合長竿的位置標記，就能獲得這朵白云的完整的位置標記。通過上述例子，我們能夠看出關于位置的概念是如何改進發展的。

（a）我們設想將確定位置所參照的固體加以補充，補充后的固體延伸到我們需要確定其位置的物體。

（b）在確定物體的位置時，我們使用量桿量出來的長竿長度，而非選定的參考點。

（c）即使未曾把直抵云端的長竿豎立起來，根據光學方法對云朵進行觀測及考慮到光的傳播特性，我們同樣可以講出白云的高度，并且能夠確定升上云端的長竿的長度。

通過上述，我們看到了有利的一面，即如何在描述位置時，依靠數值量度，而不是固定參考物上存在的標定的位置，那就會比較方便。在物理測量中應用笛卡爾坐標系能達到此目的。

這個坐標系由三個與一固體牢固連接起來的相互垂直的平面組成。在一個坐標系中，任何事件發生的地點（主要部分）由事件發生點向該三個平面所作垂線的長度或坐標（x，y，z）來確定，這三條垂線的長度可以按幾何學確立的規則和方法，用剛性測量桿經過一系列操作來確定。

通常，構成坐標系的剛性平面是不怎么用的；此外，坐標的構成不是由剛桿結構確定，而是用間接法確定的。如果物理學和天文學要保持其清楚明確的結果，就必須以上述考慮來尋求位置標示的物理意義。

我們因而得到下面的結果：在空間中，對事件位置的每一種描述都必須圍繞所參照的剛體展開；所得出的關系以假定歐幾里得幾何學的定理適用于“距離”為依據；而一剛體上的兩個標記“距離”是物理學上的習慣表示。

相關問題　坐標系的歷史

坐標系的定義，有數學與物理學兩種。

數學上的定義為：坐標系是使某個數學對象的集合中的元素對應于數量的結構。它是用以確定數或數組與基本幾何對象（常常是點）之間對應關系的參考系。最早用于數與形的結合，后來發展為一種數學結構。

物理學上的定義為：為了確定描述物體（或物體系）的位置和運動，根據問題需要而任意選擇的獨立變數，其組合結構稱為“坐標系”。

公元前4世紀，我國戰國時代天文學家石申曾利用坐標方法繪制出恒星方位表。

古希臘數學家阿波羅尼奧斯著的《平面軌跡》中，曾用類似于現在直角坐標系的軸線來研究圓錐曲線。

17世紀，法國數學家費馬和笛卡爾建立了坐標幾何學。

費馬用一種沒有負數的傾斜坐標描繪曲線，由方程中的兩個未知量得出軌跡圖形。他還指出聯系兩個未知量的方程，若是一次方程就代表直線軌跡，若是二次方程則代表圓錐曲線。

笛卡爾則從建立一種使算術、代數和幾何統一起來的普遍數學的企圖出發，指出平面上的點與實數的對應關系，并考慮二元方程F（x，y）=0，當x變化時，y值也跟著改變，x，y的不同數值構成平面上的一條曲線。實際上他只建立了坐標橫軸（x軸），到1750年瑞士數學家克萊姆才正式引入坐標縱軸（y軸）。

于是幾何的問題便成為代數的問題。

這樣的發展使幾何問題的處理變容易了，其重大意義在于：

首先，解析之后，使可研究的圖形的范圍擴大，除了直線的一次方程式，或者圓周的二次方程式，我們還可以取任意的方程式F（x，y）=0，討論它的所有點坐標（x，y）適合這個方程式的軌跡。因此許多用幾何的方法很難處理的曲線，在解析之后，都可從表示它的方程式中得到有關的幾何性質。

其次，研究的圖形不再局限于二維的平面，可推廣至高維的空間。世上的事情，若只用二維的平面，往往不足以表示，需要取更多的坐標。比如我們所在的空間是三維，有x、y、z三個度量。設若要用幾何來表示物理的問題，那么三個度量之外，尚須加一個時間t，所以物理的空間就變成了四維的空間。不但如此，設若有一點在三維空間運動，那么除了需要（x，y，z）來表示點的位置，還需要用這三坐標對時間的微分來表示它的速率，這就成了六維空間。所以種種情形都指向我們有必要考慮更高維的空間來表示自然的現象。

解析幾何把幾何研究的范圍擴大了，而科學發展的基本現象，就是要擴大研究范圍，了解更多的情形。笛卡爾的解析幾何，達到了這個目的，使幾何學邁入到一個新階段。

萊布尼茨于1692年創用了“坐標”一詞，他還于1694年使用了“縱坐標”。“橫坐標”則由德國數學家沃爾夫等人于18世紀引入。