1.1 幾何命題的物理意義

歐幾里得幾何學的宏偉大廈，是閱讀該書的大多數讀者在學生時代就很熟悉的，在這建筑的高高的樓梯上，認真的教師逼迫你們花了不知多少時間。對這座宏偉的大廈，你們的敬畏之心或許會多于熱愛之心。憑著往昔的經驗，如果有人說這門學科中的命題，哪怕是最冷僻的都是不真實的，你們一定會嗤之以鼻。但是，如果有人問：“既然這些命題是真實的，那么你們究竟是如何理解的呢？”或許你們這種理所當然的驕傲態度就會馬上消失。現在，讓我們來考慮一下這個問題。

“平面”、“點”和“直線”之類的概念引發出了幾何學，在大體上我們有確定的觀念和幾何學的一些簡單命題（公理）相聯系，在這些觀念的影響下，我們傾向于把簡單命題當作“真理”接受下來。然后以我們認為的合乎邏輯的方法，即用我們不得不認為是正當的邏輯推理過程，闡明其余的命題是公理的推論，也就是說這些命題已得到證明。于是，只要從公理中推導出的一個命題用的是公認的方法，那么這個命題就是正確的（或是“真實的”）。這樣，各個幾何命題是否“真實”就歸結為公理是否“真實”。可是上述最后一個問題本身完全沒有意義，而且用幾何學的方法無法解答。我們難道要問“過兩點只有一條直線”是否真實？這當然不能。我們只能說，幾何學研究的是稱之為“直線”的東西，它說明每一直線唯一確定的性質是由該直線上的兩點來確定。“真實”這一概念有由該直線上的兩點來唯一確定的性質。與純幾何的論點不相符的是，“真實”在習慣上是指與一個“實在的”客體相當的意思；然而無論如何，幾何學并不涉及其中所包含的觀念與經驗客體之間的關系，而只是涉及這些觀念本身之間的邏輯聯系。

不難理解，我們不得不將這些幾何命題稱為“真理”。幾何觀念與自然界中具有正確形狀的客體相對應，而具有正確形狀的客體無疑是產生那些觀念的唯一原因。幾何學應制止這一過程，以便使它的結構獲得最大的邏輯一致性。例如，在我們的思想習慣中，通過一個可視為固定的物體上的兩點來測定“距離”的辦法是根深蒂固的。我們在觀察三個點位于一條直線時，如果適當地選擇觀察位置，用一只眼睛觀測，使三個點的視位置能夠相互重合，我們也認為這三點位于同一直線。

如若依照我們的一向思維習慣，我們可以在歐幾里得幾何學中補充如下命題：在一個可視為固定的物體上的兩個點永遠對應于同一距離（直線間隔），而與該物體的位置發生的任何變化無關，那么，歐幾里得幾何學的命題就可以歸結為關于所有固定物體的所有相對位置的命題。如此一來，幾何學就可以看作是物理學的一個分支。現在，對幾何命題是否是“真理”的問題，我們能夠提出合理的解釋。我們有理由問，對于與幾何觀念相聯系的那些真實的東西，這些命題是否已被滿足。用精確的術語來表達，也可以這樣說：我們把具有此種意義的幾何命題的“真實性”理解為該幾何命題對于用圓規和直尺作圖的有效性。

當然，以此斷定幾何命題的“真實性”，其基礎是不大完整的經驗。但我們目前暫且認定這種“真實性”。然后在后一階段我們將會看到，這種“真實性”是有限的，那時再來討論這種有限性的范圍。

相關問題　幾何學的歷史

“幾何”這個詞在漢語里是“多少”的意思，但在數學里，“幾何”的希臘文原意是“土地測量”，或叫“測地術”。

幾何學是研究空間和圖形性質的一門數學分科。

在遠古時代，人們在實踐中累積了十分豐富的各種平面、直線、方、圓、長、短、寬、窄、厚、薄等概念，成了后來幾何學的基本概念。

約公元前1700年，埃及人阿默斯手抄了一本書，名為“阿默斯手冊”，里面載有很多關于面積的測量法以及關于金字塔的幾何問題。

在古希臘，數學家如泰勒（約前640—前546年）、畢達哥拉斯（約前582—前493年）、依卜加（前430—？）、柏拉圖（前427—前347年）、歐幾里得（約前330—前275年）等人，對幾何學都貢獻卓著。

泰勒曾發現若干幾何定理和證明的方法，這是理論幾何的肇始。他能運用幾何定理來解決實際問題，憑一根竹竿就可以測得金字塔的高。

畢達哥拉斯認為數學是一切學問的基礎。他對幾何學有很多研究，著名的“勾股定理”在西方就叫做“畢達哥拉斯定理”。

依卜加編著了世界歷史上第一部初等幾何教科書。他率先使用了“反證法”，與柏拉圖同為研究“幾何三大問題”（①化圓為方，求作一正方形使其面積等于一已知圓；②三等分任意角；③倍立方，求作一立方體使其體積是一已知立方體的二倍）的大家，因而附帶發現了許多幾何定理。

柏拉圖首創現在被視為證題利器的“分析法”。而確立縝密的定義和明晰的公理作為幾何學基礎，這種思想也是由柏拉圖開其先河的。

真正把幾何總結成一門具備嚴密理論體系的學科的，是希臘數學家歐幾里得。

歐幾里得，古希臘數學家。他早年在雅典求學，熟知柏拉圖的學說。公元前300年左右，受托勒密王（前364—前283年）之邀，到埃及治下的亞歷山大城工作，長期從事教學、研究和著述，涉及數學、天文、光學和音樂等諸領域。著作有《幾何原本》《已知數》《糾錯集》等。

《幾何原本》，共分13卷，有5條公設、5條公理、119個定義和465個命題，構成了史上第一個數學公理體系。在書中，歐幾里得首先給出了點、線、面、角、垂直、平行等定義，接著給出了關于幾何和量的10條公理，公理后面是一個一個的命題及其證明。《幾何原本》確立了數學的基本方法學：①建立了公理演繹體系，即用公理、公設和定義的推證方法。②將邏輯證明系統地引入數學，確立了邏輯學的基本方法。③創造了幾何證明的方法：分析法、綜合法及歸謬法。

從《幾何原本》發表開始，幾何才真正成為一個有著嚴密的理論體系和科學方法的學科。

17世紀，笛卡爾將坐標系引入幾何學，這給幾何學帶來了革新。笛卡爾利用代數方法研究幾何問題，從而建立了解析幾何。

1799年，法國數學家蒙日發表了《畫法幾何》一書，提出用多面正投影圖表達空間形體，于是畫法幾何誕生了。

1822年，彭賽列《論圖形的射影性質》一書出版，為射影幾何學奠定了厚實的基礎。

19世紀初，法國數學家蒙日首先把微積分應用到曲線和曲面的研究中去，并于1807年出版《分析在幾何學上的應用》一書，這是微分幾何最早的一本著述。至此，微積分成了一門獨立的數學分支。其后，高斯的《關于曲面的研究》，奠定了曲面論的基礎。

高斯的曲面論經過黎曼的深掘廣拓，發展成黎曼幾何學。

黎曼幾何是愛因斯坦廣義相對論的數學工具。

20世紀初，相對論的出現促進了黎曼幾何的進一步發展。20世紀中期以來，隨著數學其他分支（如拓撲學、微分方程和抽象代數）的發展，整體幾何已經成為現代幾何學的主要內容，在理論物理中有重大的應用。

物理與數學之間的關系

物理學，簡稱“物理”。“物理”一詞的英文physics出自希臘文φυσικσξ，原意是“自然”。古時歐洲人稱物理學為“自然哲學”。在漢語、日語中，“物理”一詞起源于明末清初科學家方以智的百科全書式著作《物理小識》。從最廣泛的意義上說，物理學是研究大自然現象及規律的學問。物理學家們研究存在于不同空間與時間內的物質的狀態，研究物質的結構和運動的一般規律。在現代，物理學已經成為自然科學中最基礎的學科之一。物理學理論通常以數學的形式表達出來。經過大量嚴格的實驗驗證的物理學規律被稱為物理學定律。然而如同其他很多自然科學理論一樣，有些定律不能被證明，其正確性只能通過反復的實驗來檢驗。

數學是人類文化最基本的元素之一。它的語言構成了人類文化的有機體。

數學研究的是現實世界的空間形式和數量關系，包括算術、代數、幾何、三角、微積分等。其特點是，高度的符號化、抽象化、形式化、邏輯化、簡單化。數學更接近于邏輯或者哲學，根據幾個基本公理可以建立起一個邏輯體系。

數學是自然科學之母。伽利略說過，“一個理論物理學家是某種程度的數學家”。為了方便理解，物理學從數學中尋找工具。數學為物理學的描述提供了一種準確的語言，比如歐氏幾何與牛頓的平直時空觀和非歐幾何與愛因斯坦的彎曲時空觀。另外，數學還為物理學提供了一個邏輯體系，以便進行分析與推導，比如在平直時空觀下物體應該怎么運動、怎么相互作用，而在彎曲時空下又是如何。

數學為物理學帶來了巨大的成功，但不能認為沒有數學就沒有物理學（法拉第是最好的例子，他的數學很差，他的成就取決于他對物理學的理解）。經典物理學的確立直接導致了微積分的誕生，而量子力學又為數論打破了瓶頸，物理學的發展同時又帶來了數學的進步。

作為基礎學科，數學與物理學二者可謂相輔相成、缺一不可。