5.2 整齊美觀的對稱數(shù)

一天，一位秀才游桂林名勝之一的斗雞山。他覺得山名新奇有趣，不覺哼出一句：“斗雞山上山雞斗”。如果把這句算作上聯(lián)，那下聯(lián)呢？他怎么也對不上來。秀才回家后，請自己的啟蒙老師對下聯(lián)。老師說：“你的上聯(lián)是回文句，正讀反念，其音其義都一樣。我不久前游了龍隱洞，就以此來對吧。”說罷念道：“龍隱洞中洞隱龍。”秀才一聽贊嘆道：“此乃天賜絕對矣。”上面的對聯(lián)稱為回文聯(lián)。回文，是文學(xué)創(chuàng)作中的一種修辭手法。這種修辭手法講究語言文字的排列技巧，順讀倒讀，流暢自如，給人以一種循環(huán)往復(fù)的情趣。有趣的是，數(shù)學(xué)王國中，也有類似于“回文”的對稱數(shù)！先看下面的算式：

11×11=121

111×111=12321

1111×1111=1234321

……

那么12345678987654321這個十七位數(shù)，是由哪兩個數(shù)相乘得到的呢？結(jié)果不言而喻！

瞧，這些數(shù)的排列多像一列士兵，由低到高，再由高到低，整齊有序。還有一些數(shù)，如9461649，雖高低交錯，卻也左右對稱。假如以中間的一個數(shù)為對稱軸，數(shù)字的排列方式簡直就是一個對稱圖形了！因此，這類數(shù)被稱為“對稱數(shù)”。

對稱數(shù)排列有序、整齊美觀、形象動人。那么，怎樣能夠得到對稱數(shù)呢？經(jīng)研究，除了上述11，111，1111…自乘的積是對稱數(shù)外，把某些自然數(shù)與它的逆序數(shù)相加，得出的和再與和的逆序數(shù)相加，連續(xù)進(jìn)行下去，也可以得到對稱數(shù)。

例如：475

再如：7234

對稱數(shù)也出現(xiàn)了：1136311。

對稱數(shù)還有一些獨(dú)特的性質(zhì)：

（1）任意一個數(shù)位是偶數(shù)的對稱數(shù)，都能被11整除。例如：

（2）兩個由相同數(shù)字組成的對稱數(shù)，它們的差必定是81的倍數(shù)。例如：