5.1 奇妙的自守?cái)?shù)

有些數(shù)字有著奇妙的性質(zhì)，好玩兒又好看，自守?cái)?shù)就是這類數(shù)。那么什么是自守?cái)?shù)呢？瞧！

5×5=25，6×6=36

這兩個(gè)乘數(shù)都是5或6，奇妙的是它們的乘積的末位數(shù)仍舊是5或6，就像是一條甩不掉的“尾巴”。

再看兩位數(shù)25與76：

25×25=625，76×76=5776

它們的乘積分別是一位自守?cái)?shù)5與6的“伸長(zhǎng)”。

三位的自守?cái)?shù)也正好有一對(duì)，它們是625和376。

這樣可以找出規(guī)律了吧，一般認(rèn)為自守?cái)?shù)就是指一個(gè)數(shù)的平方的尾數(shù)等于該數(shù)自身的自然數(shù)。

自守?cái)?shù)可以從5或6出發(fā)，無限伸長(zhǎng)，其位數(shù)不受限制，沒有盡頭。讓我們欣賞一下10位的自守?cái)?shù)吧：

8212890625與1787109376

加拿大的兩位數(shù)學(xué)工作者利用計(jì)算機(jī)，已經(jīng)算出了500位的自守?cái)?shù)。

尋找自守?cái)?shù)，還可以有更簡(jiǎn)單的辦法。首先，看一下甲類自守?cái)?shù)（即5的伸長(zhǎng)系列），我們通過例子來說明。把90625自乘，得出結(jié)果后，從末位上截取六位，得890625，這就從五位伸長(zhǎng)到了六位。一般地，從n位伸長(zhǎng)到n+1位，也可以采取這個(gè)辦法。

其次，來看一下乙類（即6的伸長(zhǎng)系列）自守?cái)?shù)的求法，也把原數(shù)自乘，得出結(jié)果后，由末尾起向上追溯，但第n+1位不能直接照抄原來的數(shù)字，而應(yīng)是此數(shù)a的補(bǔ)數(shù)（10-a）。

比如，我們從376出發(fā)，376自乘的結(jié)果是141376，根據(jù)上述法則，則四位自守?cái)?shù)應(yīng)是9376。

有趣的是，甲類和乙類自守?cái)?shù)之間還存在著一種普遍規(guī)律，這就是：

5+6=10+1

25+76=100+1

625+376=1000+1

……

所以，兩個(gè)n位自守?cái)?shù)之和正好是10n+1。