3.5 容錯控制

非高斯隨機分布控制系統容錯控制器的任務是設計合適的容錯控制器使發生故障后的PDF仍能跟蹤給定的PDF。這里由式（3.19）設計一個基于PI跟蹤權值的容錯控制器。與式（3.3）相似，給定的PDF描述如下。

其中，Vg是與Bi（y）對應的理想權向量。我們設計跟蹤控制器的目的就是尋找一個u（t）使得γ（y，u（t））跟蹤g（y）。眾所周知，如果Ve=Vg-V→0，。因此，PDF控制問題就轉換為非線性權值跟蹤問題。

根據故障系統式（3.18），定義一個新的狀態向量

故障系統式（3.18）可進一步表示為

其中

假設3.4 假設存在矩陣B，使得關系式，，成立，其中H1是一個可逆矩陣。

為了解決權值跟蹤問題，設計一個由PI控制律和故障補償項組成的容錯控制器

其中，KPI=[KP KI]是由PI控制器的增益決定的。

將式（3.36）代入式（3.35）可得

定理3.4 對于式（3.35），給定控制律式（3.36）和假設3.4，如果存在正定矩陣P1、Q1滿足下式。

則閉環系統式（3.37）是穩定的，且。

證明：選取Lyapunov函數

對Lyapunov函數求一階導數

因此，，，所以系統式（3.37）是穩定的。

假定在同一個理想權向量Vg下，存在跟蹤向量z1（t）、z2（t），這時ze（t）=z1（t）-z2（t）可以表述為

與式（3.39）類似，取如下Lyapunov函數。

與式（3.40）類似，有

其中，λmin（Q1）是正定矩陣Q1的最小特征值。

因此，僅存在一個平衡點z·，即

成立，也就是成立。

分別用、、代替式（3.36）中的x、V、ρ（X），可以得出如下容錯控制器。