2.4 容錯控制過程

2.4.1 無故障時系統PDF最優跟蹤控制律的設計

PDF跟蹤控制算法的目標是選擇一個控制輸入使系統的實際輸出PDF盡可能跟蹤一個事先給定的連續PDFg（y），g（y）也是定義在[a，b]上的函數，且與控制輸入u1（t）無關。類似于對γ（y，u（t））的逼近，目標PDF也可以用有理平方根B樣條模型描述如下。

為實現跟蹤，當系統無故障時，采用如下的二次型性能指標。

其中，R=RT＞0，Bζ1（t）=Bu1（t）+AVg，Vg是期望目標的一個偽權值向量。當系統正常工作時，F=0，將式（2.2）和式（2.28）代入式（2.29），顯然不能直接應用線性二次型準則求解。為此，我們轉換控制策略，采用次優控制思想，并構造如下的線性二次型性能指標代替式。

式中，e1（t）=V（t）-Vg為輸出偽權值向量和目標偽權值向量的跟蹤誤差，誤差模型為

不難發現，式（2.30）和式（2.31）是一個典型的二次型最優調節問題。雖然這是一個次優控制，但是只要式（2.31）達到最小值，則原目標函數式（2.29）也達到了最小值，這樣處理可簡化控制算法。應用經典的控制理論不難求出反饋增益矩陣K，當B為非奇異時，可得到控制量為

因為偽權值未知，所以要使用控制器u1（t）還須估計出狀態變量（偽權值）。對于B樣條函數逼近方法，通常有兩種方法獲得權值向量，一種是參數估計法，另一種是狀態觀測器法。參數估計法主要是利用最小二乘原理[8][12]，但這個方法只適用于線性和平方根B樣條模型，因為它們的權值是唯一的。對于有理或有理平方根B樣條模型來說，用這個方法得到的真正權值來獲得偽權值時就會出現問題，因為偽權值不唯一，所以參數估計法不能用來獲得偽權值。

因此，設計如下非線性觀測器。

其中，是觀測器的狀態變量；H是具有合適維數的觀測器增益矩陣；?（t）是殘差。

將代替V則得到實際控制器為

在控制律[見式（2.34）]的作用下，動態系統式（2.2）在正常工作時，其輸出概率密度函數跟蹤了給定的分布。

當t＞tf時，系統出現故障，F≠0。為了使系統輸出的概率密度函數仍能跟蹤給定的分布，可利用診斷出的故障信息進行故障重組。

2.4.2 故障重組

故障重組的任務是使出現故障后系統的輸出概率密度函數仍能跟蹤給定的分布。故障估計出后，。為求出故障重組后的控制器u2（t）重新定義性能指標如下。

同樣構造如下線性二次型性能指標。

其中，e2（t）=V（t）-Vg。

注釋2.1 容錯控制時定義的性能指標是瞬時性能指標，因為當系統發生故障時，隨機系統的輸出不會再完全跟蹤給定的概率密度函數。

讓ζ2（t）考慮故障的影響，令。u2（t）為要重新設計的控制器，仍對誤差模型進行二次型最優調節，則可得到

在控制律u2（t）的作用下使得性能指標式（2.36）達到最小，從而使目標函數式（2.35）也達到最小。在實際應用中，系統狀態一般不能直接得到，仍用式（2.33）的狀態觀測器來估計故障發生后動態系統的狀態，用觀測狀態代替系統的狀態，得到實際的重組控制器為

通過對控制律u1（t）重新設計，得到控制律u2（t）可使得故障發生后系統輸出概率密度函數仍能跟蹤給定分布。