第3章 汽車行駛振動(dòng)

3.1 道路路面不平度的統(tǒng)計(jì)描述

3.1.1 路面譜及其分類

圖3-1所示為一路面的縱剖面圖。路面相對于基準(zhǔn)平面的高度q沿道路走向長度I的變化q（I）稱為路面縱斷面曲線或不平度函數(shù)。這個(gè)函數(shù)的自變量為路面與選定的坐標(biāo)原點(diǎn)的距離I，而不是時(shí)間t，因此，對應(yīng)于路面激勵(lì)q（I）的功率譜為G_q（n）。

1984年由國際標(biāo)準(zhǔn)化組織在ISO/TC 108/SC2N67文件中提出的“路面不平度表示方法草案”和GB/T 7031—2005《機(jī)械振動(dòng)道路路面譜測量數(shù)據(jù)報(bào)告》標(biāo)準(zhǔn)中，均建議路面功率譜密度G_q（n）用式（3-1）作為擬合表達(dá)式

式中，n為空間頻率（m^-1），它是波長λ的倒數(shù)，表示每米長度中所包含的波的個(gè)數(shù)；n₀為參考空間頻率，n₀=0.1m^-1；G_q（n₀）為參考空間頻率n₀下的路面功率譜密度值，稱為路面不平度系數(shù)（m²/m^-1=m³）；w為頻率指數(shù)，為雙對數(shù)坐標(biāo)上斜線的斜率，它決定路面功率譜密度的頻率結(jié)構(gòu)。

式（3-1）在雙對數(shù)坐標(biāo)上為一斜線，對實(shí)測路面功率譜密度擬合時(shí)，為了減少誤差，在不同空間頻率范圍可以選用不同的擬合系數(shù)進(jìn)行分段擬合，但不應(yīng)超過4段。

上述兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)還提出了按路面功率譜密度，將路面的不平度分為A、B、C、D、E、F、G和H共8級，如表3-1所示。

表3-1規(guī)定了8級路面不平度系數(shù)G_q（n₀）的幾何平均值，分級路面譜的頻率指數(shù)w=2。表中還同時(shí)列出了0.011m^-1＜n＜2.83m^-1范圍路面不平度相應(yīng)的均方根值q_rms（σ_q）的幾何平均值。

圖3-1 路面的縱剖面

表3-1 路面不平度8級分類標(biāo)準(zhǔn)

（續(xù)）

圖3-2 路面不平度分級圖

圖3-2所示為路面不平度分級圖，可以看出路面功率譜密度隨空間頻率n的提高或波長λ的減小而變小。當(dāng)w=2時(shí)，G_q（n）與λ²成正比，G_q（n）是不平度幅值的均方值譜密度，故G_q（n）又與不平度幅值的平方成正比，所以不平度幅值q₀大致與波長λ成正比。

上述路面功率譜密度G_q（n）指的是垂直位移功率譜密度，還可以采用不平度函數(shù)q（I）對縱向長度I的一階導(dǎo)數(shù)，即速度功率譜密度和二階導(dǎo)數(shù)，即加速度功率譜密度來補(bǔ)充描述路面不平度的統(tǒng)計(jì)特性。（m）和與G_q（n）的關(guān)系為

當(dāng)頻率指數(shù)w=2時(shí)，由式（3-2）和式（3-3）可得

可以看出，此時(shí)路面速度功率譜密度幅值在整個(gè)頻率范圍為一常數(shù)，即“白噪聲”，幅值大小只與不平度系數(shù)G_q（n₀）有關(guān)，用它來計(jì)算分析振動(dòng)響應(yīng)的功率譜會(huì)帶來方便。

3.1.2 空間頻率與時(shí)間頻率功率譜密度的關(guān)系

路面不平度的空間頻率功率譜密度為，計(jì)算要用到時(shí)間頻率譜密度G_q（f），因而須將路面空間功率譜換算為路面不平度的時(shí)間功率譜G_q（f）。設(shè)汽車速度為v（m/s），則時(shí)間頻率f是空間頻率n與車速v的乘積，即

f=vn （3-6）

又根據(jù)自功率譜密度與相關(guān)函數(shù)為傅里葉變換對的關(guān)系，可得空間頻率功率譜密度為

式中，ζ是路面上兩點(diǎn)之間的距離，相當(dāng)時(shí)域中自相關(guān)函數(shù)R（τ）中的時(shí)間間隔τ，因而有

ζ=vτ （3-8）

將式（3-6）和式（3-8）代入式（3-7），可得

即 G_q（n）=vG_q（f） （3-9）式中，R（v，τ）表示自相關(guān)函數(shù)，為速度v和時(shí)間間隔τ的函數(shù)，當(dāng)速度一定時(shí)，即v為常數(shù)，則自相關(guān)只是時(shí)間間隔τ的函數(shù)，因此，R（v，τ）可以寫成R（τ），整理式（3-9），可得

G_q（f）=G_q（n）/v （3-10）

將式（3-1）和式（3-6）代入式（3-10），可得時(shí)間頻率功率譜密度G_q（f）的表達(dá)式，當(dāng)w=2時(shí)，有

因此，時(shí)間頻率的速度和加速度的功率譜密度與位移功率譜密度G_q（f）的關(guān)系式為

由上可知，時(shí)間頻率的路面不平度位移、速度和加速度的功率譜密度G_q（f）、和都與路面不平度系數(shù)以及車速v成正比。

3.1.3 車輛路面不平輸入的功率譜密度

1.前、后兩車輪輸入的功率譜密度與互譜密度

上面只討論了一個(gè)車輪的自功率譜，如果考慮前、后車輪兩個(gè)輸入時(shí)，還要研究兩個(gè)輸入之間的互功率譜問題。如圖3-3所示，x（I）為前輪遇到的不平度函數(shù)，假定前、后輪走同一個(gè)車轍，則后輪只是比前輪滯后一段長度I（軸距），因而后輪不平度函數(shù)為x（I-l）。

圖3-3 前、后車輪的兩個(gè)輸入

如令x（I）的傅里葉變換為X（n），即

F[x（I）]=X（n） （3-14）

則根據(jù)傅里葉變換的性質(zhì)可得

F[x（I-l）]=X（n）e^-j2πnl （3-15）

如果激勵(lì)前、后輪的道路譜的自譜、互譜分別用G₁₁（n）、G₂₂（n）、G₁₂（n）和G₂₁（n）表示，則有

式中，L為路面長度I方向上的分析距離，X*（n）為X（n）的共軛復(fù)數(shù)。以上各式也可以寫成矩陣形式，即

寫成時(shí)間頻率的功率譜則為

2.四輪輸入時(shí)的功率譜密度與互譜密度

圖3-4所示為四輪輸入示意圖。四車輪輸入時(shí)，如果x（I）、y（I）分別為左前輪和右前輪遇到的不平度函數(shù)，則左后輪和右后輪不平度函數(shù)分別為x（I-l）、y（I-l）。

根據(jù)不平度函數(shù)的傅里葉變換與功率譜之間關(guān)系，可得四個(gè)車輪輸入的自功率譜和四個(gè)車輪彼此間輸入的互功率譜，共16個(gè)譜量G_ik（n）（i，k=1，2，3，4），為

圖3-4 四輪輸入示意圖

因此，四個(gè)車輪輸入的自功率譜和互功率譜，共16個(gè)譜量分別為

兩個(gè)輪跡之間不平度的統(tǒng)計(jì)特性，用它們之間的互功率譜密度函數(shù)或相干函數(shù)來描述?；プV密度一般為復(fù)數(shù)，用指數(shù)形式表示時(shí)，左、右輪跡間的互譜可以表示為

式中，G_xy（n）為x（I）與y（I）的互振幅功率譜；?_xy（n）為x（I）與y（I）的互相位譜。

兩個(gè)輪跡的相干函數(shù)，可表示為

相干函數(shù)coh²_xy（n）在頻域內(nèi)描述了x（I）與y（I）中頻率為n的分量之間線性相關(guān)的程度。當(dāng)coh²_xy（n）=1時(shí)，表明對x（I）與y（I）中頻率為n的分量之間幅值比和相位差保持不變，即完全線性相關(guān)；當(dāng)coh²_xy（n）=0時(shí)，表明x（I）與y（I）中頻率為n的分量之間幅值比和相位差是完全無關(guān)地隨機(jī)變化的。

當(dāng)兩個(gè)輪跡x（I）與y（I）的統(tǒng)計(jì)特性相同，即G_xx（n）=G_yy（n）=G_q（n），且相位差在?_xy（n）=0時(shí)，由式（3-25）可得

G_xy（n）=G_yx（n）=coh_xy（n）G_q（n） （3-26）

路面對四輪汽車輸入的譜矩陣可以表示為