2.3 雙質量車身車輪振動

2.3.1 雙質量系統(tǒng)振動微分方程

對于雙軸汽車四個自由度的振動模型，當懸架質量分配系數(shù)ε=ρ²_y/ab的數(shù)值接近1時，前后懸架系統(tǒng)的垂直振動幾乎是獨立的，于是汽車可以簡化為1/4汽車雙質量二自由度系統(tǒng)振動模型，如圖2-11所示。

雙質量系統(tǒng)振動模型，不僅可以反映的車身部分的動態(tài)特性，還能反映車輪部分在10～15Hz范圍產生高頻共振時的動態(tài)特性，它對平順性和車輪的接地性有較大影響，比單質量系統(tǒng)更接近汽車懸架系統(tǒng)的實際情況。設車輪與車身垂直位移坐標為z₁、z₂，坐標原點選在各自的平衡位置，則振動微分方程為

式中，m₂為懸架質量（簧上質量，包括車身等）；m₁為非懸架質量（簧下質量，包括車輪、車軸等）；k、k_t分別為懸架和輪胎剛度；c為懸架阻尼系數(shù)。

圖2-11 單輪雙質量二自由度模型

2.3.2 雙質量無阻尼系統(tǒng)的自由振動

當系統(tǒng)可以不計阻尼時，則雙質量系統(tǒng)的自由振動微分方程變?yōu)?/p>

由運動方程可以看出，m₂與m₁的振動是相互耦合的。若m₁不動（z₁=0），則有

這相當于只有車身質量m₂的單質量無阻尼自由振動。其固有圓頻率為

同樣，若m₂不動（z₂=0），相當于車輪質量m₁作單自由度無阻尼自由振動，于是可得

車輪部分固有圓頻率為

固有圓頻率p₀與p_t是只有單獨一個質量（車身質量或車輛質量）振動時的部分頻率，稱為偏頻。

在無阻尼自由振動時，車身質量和車輪質量將以相同的圓頻率ω和相角φ作簡諧振動，設車輪和車身的振幅分別為z₁₀和z₂₀，則它們的振動響應分別為

將式（2-54）和式（2-55）代入振動微分方程組（2-51），可得

將k/m₂=p²₀、（k+k_t）/m₁=p²_t代入式（2-56），可得

此方程組有非零解的條件是z₂₀、z₁₀的系數(shù)行列式為零，即

得系統(tǒng)的特征方程為

方程（2-58）的兩個根為二自由度系統(tǒng)的兩個主頻率ω₁和ω₂的平方

將ω₁和ω₂代入式（2-57）中的任何一式，可得一階主振型和二階主振型，即

一階主振型：

二階主振型：

例如，某汽車車身固有圓頻率p₀=2πrad/s，質量比r_m=m₂/m₁=10，剛度比r_k=k_t/k=9，求系統(tǒng)的主頻率和主振型。

由式（2-53）可得車輪的固有頻率為

由式（2-59）可得系統(tǒng)兩個主頻率分別為

ω₁=0.95p₀，ω₂=10.01p₀

由此可見，低的主頻率ω₁與車身固有圓頻率p₀接近，高的主頻率ω₂與車輪固有圓頻率p_t接近，且有ω₁＜p₀＜p_t＜ω₂。

將兩個主頻率ω₁和ω₂分別代入式（2-60）和式（2-61），可確定兩個主振型為一階主振型：

二階主振型：

車身與車輪兩個自由度系統(tǒng)的主振型如圖2-12所示。在強迫振動情況下，激振頻率ω接近系統(tǒng)主頻率ω₁時將產生低頻共振，按一階主振型振動，車身質量m₂的振幅比車輪質量m₁的振幅大將近10倍，所以主要是車身質量m₂在振動，故稱為車身型振動。

當激振頻率ω接近系統(tǒng)主頻率ω₂時，產生高頻共振，按二階主振型振動，此時車輪質量m₁的振幅比車身質量m₂的振幅大將近100倍（實際由于阻尼存在而不會相差這樣多），故稱為車輪振型振動。

圖2-12 二自由度系統(tǒng)的主振型

圖2-12所示為二自由度系統(tǒng)的車輪振型振動，由于車身基本不動，所以可簡化為圖2-13所示的車輪部分的單質量系統(tǒng)，下面來分析車輪部分在高頻共振區(qū)的振動。由圖2-13可知，車輪質量m₁的運動方程為

利用對單自由度系統(tǒng)的一般解法，可求得車輪位移z₁對路面激勵q的頻率響應函數(shù)為

將上式分子、分母除以k+k_t，并把車輪部分固有頻率p_t、車輪部分阻尼比以及λ_t=ω/p_t代入，可得

圖2-13 車輪部分單質量系統(tǒng)

其幅頻特性為

在高頻共振ω=p_t時，車輪的加速度均方根值譜正比于車輪響應加速度對路面激勵速度的幅頻特性，即

由式（2-64）可見，降低輪胎剛度k_t能使車輪固有圓頻率p_t下降，使簧下質量系統(tǒng)的阻尼比ξ_t加大，這是減小車輪部分高頻共振時加速度的有效方法。降低非懸架質量m₁，會使p_t和ξ_t都加大，車輪部分高頻共振時的加速度基本不變，但車輪部分動載下降，車輪相對動載F_d/G降低，有利于提高車輛行駛安全性。

2.3.3 雙質量振動系統(tǒng)的傳遞特性

先求雙質量系統(tǒng)的頻率響應函數(shù)，將有關復振幅代入方程式（2-50），可得

由式（2-65）的第1式可得，車身響應z₂對車輪響應z₁的頻率響應函數(shù)為

式中，A₁=jωc+k=k（1+2jξλ）；A₂=k-ω²m₂+jωc=k（1-λ²+2jξλ）；λ為頻率比，λ=ω/p₀；ξ為阻尼比，。

由式（2-66）可知，雙質量系統(tǒng)的車身響應z₂對車輪響應z₁的幅頻特性與單質量系統(tǒng)幅頻特性H（jω）z～q完全一樣，即

將式（2-66）代入方程組（2-65），可得車輪響應z₁對路面激勵q的頻率響應函數(shù)

式中，N=A₃A₂-A²₁，其中A₃=k+k_t-ω²m₁+jωc。

由式（2-68）可得車輪響應z₁對路面激勵q的幅頻特性，即

式中，；λ為頻率比，λ=ω/p₀；r_k為剛度比，r_k=k_t/k；r_m為質量比，r_m=m₂/m₁。

由式（2-66）及式（2-68）兩個環(huán)節(jié)的頻率響應函數(shù)相乘，便可得到車身振動位移響應z₂對路面激勵位移q的頻率響應函數(shù)，即

即

因此，車身振動位移響應z₂對路面激勵位移q的幅頻特性就為兩個環(huán)節(jié)幅頻特性相乘，即

即

圖2-14和圖2-15分別為式（2-69）和式（2-71）對應的幅頻特性曲線。

圖2-14 z₁對q的幅頻特性曲線

圖2-15 z₂對q的幅頻特性曲線

從曲線可以看出，對于這個車身車輪二自由度模型，當激振頻率接近系統(tǒng)一階固有頻率ω₁和二階固有頻率ω₂時，都會發(fā)生共振。車身位移z₂對q的幅頻特性和車輪位移z₁對q的幅頻特性，都有低頻和高頻兩個共振峰。