3.3 薄板橫截面上的內力

薄板橫截面上的內力稱為薄板內力，是指薄板橫截面的單位寬度上，由應力合成的主矢量和主矩。由于薄板是按照內力來設計的，因此要求出內力。由于在板的側面上，通常很難使應力分量滿足應力邊界條件，但板的側面是板的次要邊界條件，故可應用圣維南原理，用內力的邊界條件來代替應力的邊界條件。

圖3-2 薄板所取的平行六面體

為了求出薄板橫截面上的內力，從薄板內取出一個平行六面體，它的三邊分別是dx、dy和板的厚度δ，如圖3-2所示。

3.3.1 x為常量橫截面上的內力

在x為常量的橫截面上，作用有σ_x、τ_xy和τ_xz。由式（3-5）知σ_x及τ_xy都和z成正比，且在中面上為零，所以它們在薄板全厚度上的主矢量都等于零，它們只可能合成彎矩和扭矩。

在該橫截面的單位寬度上，應力分量σ_x對中面合成為彎矩

將式（3-5）中的第一式代入式（3-15），對z積分，得

與此類似，應力分量τ_xy將合成為橫截面內的扭矩

將式（3-5）中的第三式代入式（3-16），對z積分，得

應力分量τ_xz只可能合成為橫向剪力，在單位寬度上為

將式（3-6）中的第一式代入式（3-17），對z積分，得

3.3.2 y為常量橫截面上的內力

同理，在y為常量的橫截面上，單位寬度內的σ_y、τ_yx和τ_zy也分別合成如下的彎矩、扭矩和橫向剪力。

3.3.3 橫截面上的內力

綜上可得，薄板橫截面上的內力可以簡寫為

薄板內力正負方向的規定是從應力正負方向的規定得出的：正的應力合成的主矢量為正，正的應力乘以正的矩臂合成的主矩為正；反之為負。所有薄板內力的正方向如圖3-3所示。

圖3-3 薄板所受內力的正方向

3.3.4 應力分量與內力的關系

利用式（3-18）從式（3-5）和式（3-6）中消去w，并利用式（3-14）從式（3-11）中消去w，可以得出各應力分量與彎矩、扭矩、橫向剪力或載荷之間的關系為

3.3.5 應力分量的最大值

沿著薄板的厚度，應力分量σ_x、σ_y和τ_xy的最大值發生在板面，τ_xz及τ_yz的最大值發生在板的上面，各個最大值為

正應力σ_x及σ_y分別與彎矩M_x和M_y成正比，因而稱為彎應力；切應力τ_xy與扭矩M_xy成正比，因而成為扭應力；切應力τ_xz及τ_yz分別與橫向剪力F_Sx及F_Sy成正比，因而稱為橫向切應力；正應力σ_z與載荷q成正比，稱為擠壓應力。

上面已經說明：在薄板彎曲問題中，彎應力和扭應力在數值上最大，因而是主要的應力；橫向切應力在數值上較小，是次要的應力；擠壓應力在數值上更小，是更次要的應力。因此，在計算薄板的內力時，主要是計算彎矩和扭矩，橫向剪力一般都無需計算。