3.4 圓形薄板的彎曲

3.4.1 圓形薄板的彎曲曲面微分方程

求解圓形薄板的彎曲問題時，和求解圓形邊界的平面問題一樣，用極坐標比較方便。此時，將撓度w和橫向載荷q都看作是極坐標的函數，即w=w（ρ，w），q=q（ρ，w）。進行與第2章平面問題極坐標中相同的變換，可以得出下列的導數變換式：

應用式（3-23），薄板彈性曲面的微分方程[式（3-14）]可以變換為

3.4.2 圓形薄板的內力表達式

為了導出用撓度表示內力的表達式，從薄板內取出一個微元，如圖3-4所示。

圖3-4 圓形薄板的微元受力情況

在ρ為常量的橫截面上，應力分量σ_ρ、τ_ρφ和τ_ρz分別合成為彎矩M_ρ、扭矩M_ρφ和橫向剪力F_Sρ；在φ為常量的橫截面上，應力分量σφ、τφρ和τφz分別合成為彎矩M_φ、扭矩M_φρ和橫向剪力F_Sφ。若上述各個內力均為正號，則對應的正方向用力矢和矩矢表示，如圖3-4所示。

現在，把x軸和y軸分別轉到這個微分塊的ρ方向和φ方向，使該微分塊的φ坐標為零，則該微分塊處的M_ρ、M_φ、M_ρφ、M_φρ、F_Sρ及F_Sφ分別成為M_x、M_y、M_xy、M_yx、F_Sx及F_Sy。于是，利用導數的變換式（3-22）和（3-21），令φ=0，即由式（3-18）得到極坐標中薄板內力公式

式中，Δ²w是用式（3-23）表示的。