人類的抽象能力：1＋1到底等于幾

在上文中，我們留下的問題是：1＋1在什么情況下等于2？對于如此簡單的問題，想必你是懶得回答的．是的，對于大多數人而言，“1＋1＝2，2＋3＝5”就像“誰知盤中餐，粒粒皆辛苦”一樣，它只是死記硬背的一個口訣，到需要的時候生搬硬套地使用就可以了．1＋1＝2好像就是明擺在那里的，完全沒有什么道理好講．但我要告訴你的是，數學大廈中一切寶貴的知識財富，包括數學皇冠上的明珠，都是從這個最簡單的算式中推演出來的．任何一個真正理解什么叫1＋1＝2的人，不可能不深愛著數學．

數學家羅素曾經講過：“人類的一切錯誤都可以從最簡單的數學錯誤中推導出來．”據說在一個教堂上，教皇對他的這個說法提出了質疑，他說：“羅素先生，聽說你認為一切錯誤都是由數學錯誤導致的，那么請問你能從2＋2＝5這個錯誤，推導出你羅素先生就是教皇嗎？”羅素說道，這有什么困難，請看：

2＋2＝5，我們在等式左右兩邊同時減2，得到2＝3，

再從等式的兩邊都減去1，得到1＝2，

反過來就得到2＝1．

因為2＝1，所以說羅素和教皇是兩個人，就等于說羅素和教皇是一個人了，羅素當然就是教皇了．

這可不僅是一個笑話，事實的確如此．我們在數學上犯的所有錯誤，都源于對1＋1＝2這個最基本的數學問題認知不清．你認為1＋1＝2是任何人都應該懂得的道理嗎？那么請問，為什么幾百萬年前的原始人不懂得這個道理呢？你真懂得1＋1＝2嗎？那么請嘗試回答以下幾個問題：

請問，1千克加上1千米等于多少？

聽到這里你一定會說，必須是一樣的單位才能相加！好的，那么請問：

1只羊加上1只老鼠等于什么？

聽到這里你又會說了，只有同樣的事物才能加！好的，那么請問：

1群羊加上1群羊以后，結果為什么仍然是1群羊呢？

那你又會說了，必須是1個1個地數出來才能加！好，請繼續回答：

1個人加1個人等于幾個人呢？

這下你心里有底了，答案一定是2個人對不對？那我們在實際生活中看看是不是這樣吧：我們假設有母女2個人，她們先去醫院，然后坐公交車去公園．那么，這一路上陸續會發生這樣一些事情：

如果是母女兩個人去醫院掛號，1個人1元，那么醫院會把她們當兩個人看，收2元．

出了醫院，她們兩個乘公交車，1張票1元，但此時女兒的身高不夠收費標準，售票員會把她們當1個人看，只收她們1元．

到了公園以后，同樣是1個人1元，但因為女兒是學生，可以享受半價，于是她們只需要花1.5元．

怎么樣，我們已經看了這么多的例子了，這1＋1它到底等于幾？在實際生活中，好像處處都充滿了1＋1不等于2的場景．接下來，我們就一起分析一下1＋1＝2中隱藏的秘密．在1＋1＝2當中，同時存在著1、2、＋、＝四個完全不相同的概念．要知道我們必須獨立地分析1＋1＝2中的每個概念，才能明白整個算式的含義．

首先我們來看什么叫1.1是人類最難發現的秘密．因為在1＋1＝2這個算式中，前后存在兩個1，這意味著要把兩個相同的放在一起，才能實現加的結果，但是，世界上有兩個完全相同的東西嗎？唐詩有云：“年年歲歲花相似，歲歲年年人不同．”但是花相似也僅僅是相似，世界上看起來相似的東西很多，但是兩個完全相同的東西存在嗎？如果你仔細觀察，就會發現世界上根本沒有任何兩片樹葉是相同的，甚至同一片樹葉今天的樣子和昨天也是不同的．如果世界上的東西必須完全相同才能實現加法，那么就意味著加法沒有任何實際用途．自然界中的事物是萬紫千紅、千奇百怪的，當初我們的祖先生活在原始的叢林里面，他們在采摘和打獵的時候，能采摘到完全相同的水果嗎？能夠捕獵到完全相同的野獸嗎？顯然不能！也正是因為找不到完全一樣的東西，所以古代人類才在幾十萬年的時間內遲遲不能發現加法的秘密．

時間在發展，人類在進步，當我們的祖先學會種植和養殖以后，情況就不同了．種植的莊稼雖然每一個顆粒也是不同的，但是由于莊稼是同時成熟的，而且數量龐大，這就會導致我們沒有辦法去區分每一粒糧食的差別．在這樣的情況下，就只能近似地把每一粒糧食看成是相同的．同樣，養殖的同一批小羊羔，也可以近似地認為是沒有區別的．也只有在這樣的條件下，加法的存在才成為可能，人們用加法來計算數量才有實際意義．

當然，人類的智慧不會止步于此，當人類發現了糧食和牲畜的數量可以相加之后，他們逐漸就會發現：世界上的任何兩個東西，只要它們的不同可以被忽略，它們的數量就可以相加．換句話說，雖然這個世界上不存在完全相同的兩個事物，但是世界上也不存在完全不同的兩個事物．如果只關注相同的部分，忽略不同的部分，它們同樣也是可以相加的．比如鐵和棉花肯定是不同的，但是，如果不看它們的顏色、形狀和用途，只看它們的重量，那就是可以相加的．人類從不相同的事物發現共同點的這種能力叫作抽象能力．抽象能力是我們認知世界的基礎，如果沒有這種抽象能力，人類不但不會發現數學，也不會發展出語言、音樂、文字、繪畫等一切人類文明．

世界在不同中蘊含著相同，抽象讓我們從一個個特殊的事物中歸納出概念，抽象讓我們從一個個獨立現象中發現一般規律．人類正是由這些抽象的概念和規律出發，創造出自己的文明的．

以上我們討論的是1＋1在什么情況下等于2，答案是，在我們忽略個體差異的條件下，1＋1＝2．那么，1＋1＝2中還隱藏著哪些秘密呢？